체르멜로-프렝켈 집합론

수학에서 체르멜로-프렝켈 집합론(영어: Zermelo-Fraenkel set theory, 약자 ZF)은 공리적 집합론 체계의 하나이다. 일반적으로 여기에 선택 공리를 추가해 사용하며 이를 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(영어: Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, 약자 ZFC)이라고 한다. ZF와 ZFC는 현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 사용된다.

정의

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론은 1차 논리를 기반으로 하는 집합론으로서, 논의 영역은 집합들, 등호 밖에 유일한 (이항) 관계는 원소 관계 $\in$이다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리계는 다음과 같은 공리 7개 및 공리꼴 2개로 정의된다. 이들은 통상적인 1차 술어 논리 공리들에 추가로 가정한 것이다.

• 확장 · 정칙성 공리는 ZFC에서 쓰이는, 집합의 기본적인 성질들을 나타낸다.
• 분류 · 치환 공리꼴과 짝 · 합집합 · 멱집합 공리들은 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 구성하는 방법들을 정의한다.
• 무한 · 선택 공리는 ZFC에서 비교적 더 논란이 되는 공리들이다.

체르멜로-프렝켈 공리계(ZF)는 ZFC에서 선택 공리를 제외한 것이며, 체르멜로 공리계(Z)는 ZFC에서 선택 · 정칙성 · 치환 공리(꼴)를 제외한 것이다.

확장 공리

확장 공리(영어: axiom of extensionality): 포함하는 원소가 완전히 같은 두 집합은 서로 동일하다.

$\forall x\forall y(\forall z(z\in x\iff z\in y)\implies x=y)$

이는 사실상 집합의 동일함이 무엇인지를 정의한다. 즉, 집합은 순서 및 다른 추가 성질을 갖지 않는 구조이며, 그 "확장"에 의해 유일하게 결정된다.

정칙성 공리

정칙성 공리(영어: axiom of regularity): 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 포함한다.

$\forall x(\exists y(y\in x)\implies \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in x\land z\in y)))$

이에 따라, 스스로를 원소로 포함하는 집합이나, 스스로를 원소의 원소로 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다.

분류 공리꼴

분류 공리꼴(영어: axiom schema of specification): $\phi (z)$를 $z$만을 자유 변수로 갖는 논리식이라고 하자. 그러면 분류 공리꼴은 다음과 같다.

$\forall x\exists y\forall z(z\in y\iff (z\in x\land \phi (z)))$

즉, 이미 구성된 집합에 주어진 성질을 만족시키는 원소들로 이루어진 부분 집합을 취할 수 있다. 여기서 원소의 범위를 미리 집합으로 제한하는 것은 러셀의 역설과 같은 역설을 피하기 위한 것이다.

치환 공리꼴

치환 공리꼴(영어: axiom schema of replacement): $\phi (x,y)$를 $x$, $y$만을 자유 변수로 갖는 논리식이라고 하자. 그러면 치환 공리꼴은 다음과 같다.

$\forall X(\forall x\in X\exists !y\phi (x,y)\implies \exists Y\forall x\in X\exists y\in Y\phi (x,y))$

치환 공리꼴에 따라, 어떤 논리식이 어떤 집합에서 함수 관계라면, 그 집합의 그 함수에 대한 상을 취할 수 있다.

짝 공리

짝 공리(영어: axiom of pairing): 임의의 두 집합에 대하여, 그 둘 모두를 원소로 포함하는 집합이 존재한다.

$\forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z)$

즉, 정확히 어떤 두 집합을 원소로 갖는 집합을 구성할 수 있다. 이 두 집합을 같게 놓으면, 그 집합을 원소로 갖는 한원소 집합을 구성할 수 있다. 두 집합의 순서쌍 역시 같은 방식으로 구성할 수 있다.

합집합 공리

합집합 공리(영어: axiom of union): 임의의 집합에 대하여, 그 원소들의 원소들을 모두 원소로 포함하는 집합이 존재한다.

$\forall x\exists y\forall z\forall w(w\in z\land z\in x\implies w\in y)$

즉, 임의의 집합의 합집합을 정의할 수 있다.

멱집합 공리

멱집합 공리: 비형식적인 (즉, 실제 공리계의 언어에는 없는) 술어

$A\subseteq B$

를

$\forall t(t\in A\implies t\in B)$

의 뜻으로 도입하자. 그렇다면, 임의의 집합에 대하여, 그 모든 부분집합을 원소로 포함하는 집합이 존재한다.

$\forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\implies z\in y)$

즉, 임의의 집합의 멱집합을 정의할 수 있다.

무한 공리

무한 공리: 다음과 같은 비형식적인 기호를 도입하자.

• 상수 $\varnothing$는 공집합을 뜻한다.
• 함수 $S(x)=x\cup \{x\}$는 따름수 함수이다.

그렇다면, 공집합 및 모든 원소의 따름수를 원소로 포함하는 집합(귀납 집합)이 존재한다.

$\exists X(\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\implies S(y)\in X))$

이에 따라, 최소 귀납 집합을 (유일하게) 정의할 수 있다. 이는 가산 무한 집합이며, 여기에 멱집합을 취하여 더 큰 무한 기수 및 순서수들을 정의할 수 있다.

최소 귀납 집합은 자연수의 페아노 공리계의 모형이다. (이는 정칙성 공리를 제외하여도 성립한다.)

선택 공리

선택 공리: 공집합이 아닌 집합들의 집합이 주어지면, 각 원소로부터 하나씩의 원소를 선택하는 함수(선택 함수)가 존재한다. 즉,

$\forall X(\varnothing \notin X\implies \exists f\colon X\to \bigcup X\forall A\in X(f(A)\in A))$

여기서 $\bigcup$는 합집합을 뜻하는 비형식적인 함수이다.

선택 함수가 원소를 고르는 방법은 명시되지 않으며, 일부 경우 명시될 수 없음을 보일 수 있다.

성질

ZFC의 논의 영역은 집합만을 포함하며, 고유 모임을 포함하지 않는다. 모임을 직접적으로 다루려면 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 모스-켈리 집합론을 사용하여야 한다.

ZFC의 모든 집합은 집합으로 구성되어 있으며, 원자(영어: atom, urelement)를 갖지 않는다. 또한, ZFC의 집합은 정칙적이다. 즉, 정칙성 공리에 의하여

$A=\{A\}=\{\{A\}\}=\cdots$

또는

$B=\{C\}=\{\{B\}\}=\{\{\{C\}\}\}=\cdots$

와 같은, 무한히 재귀적인 집합이 존재할 수 없다.

ZFC은 1차 이론이므로 논의 영역에 하나의 집합을 자명하게 포함한다. 따라서 분류 공리꼴로부터 원소가 없는 집합을 구성할 수 있다. 확장 공리로부터 이러한 집합이 유일하다는 것을 알 수 있다. 이를 공집합이라고 하고 $\varnothing$로 표기한다. ZFC의 논리식은 $\varnothing$를 사용하여 비형식적으로 단순화할 수 있다.

공리의 독립성

체르멜로-프렝켈 집합론의 일부 공리들은 서로 독립적이지 않다. 치환 공리꼴 · 분류 공리꼴 · 멱집합 공리는 짝 공리를 함의한다.

증명:

분류 공리꼴을 가정하면, 아무 원소를 포함하지 않은 집합 $e$가 존재한다.

멱집합 공리를 추가적으로 가정하면, 집합 ${\mathcal {P}}(e)\ni e$가 존재한다. 또한, 집합 ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(e))\ni e,{\mathcal {P}}(e)$가 존재한다.

치환 공리꼴을 추가로 가정하고, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$G\colon V\to V$

$G(t)={\begin{cases}x&\not \exists s\colon s\in t\\y&\exists s\colon s\in t\end{cases}}$

그렇다면, ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(e))$의 $G$에 대한 상은 $x=G(e)$와 $y=G({\mathcal {P}}(e))$를 원소로 포함한다.

모형

어떠한 전체(영어: universe)와 그 위에 정의된 이항관계로 이루어진 구조가 주어진 집합론의 공리들을 모두 성립하게 할 때 이를 그 집합론의 모형(영어: model)이라고 한다. 또 이항관계가 전체에 한정된 정초적인 원소관계(membership relation)일 때 이를 표준 모형(영어: standard model)이라 한다.

$V$가 폰 노이만 전체를 나타낸다 하자. 모든 자연수의 집합을 $\omega$라 할 때 $V_{\omega }$는 모든 계승적 유한 집합들의 집합이 되고, 이는 ZF에서 무한 공리를 제외한 집합론의 모형을 이룬다.

또한 $V_{\omega +\omega }$는 선택 공리를 포함하지 않는 ZF 집합론의 모델이 된다.

ZFC에서 어떤 도달 불가능한 기수 $\kappa$의 존재를 가정하면 $V_{\kappa }$는 ZFC의 모델이 되는데, 이 속에서는 도달 불가능한 기수의 존재를 보일 수 없게 된다. 또한 약하게 도달 불가능한 기수 $\kappa$에 대해 구성 가능 전체 $L_{\kappa }$을 두면 $\kappa$는 일반화 연속체 가설이 성립하는 L 내부에서 강하게 도달 불가능하여 ZFC의 모델을 이룬다.

상대적 무모순성

ZF(C)와 같은 무모순성을 갖는 이론

다음 이론들은 서로 등무모순적이다.

• ${\mathsf {ZF}}^{-}$. 이는 ${\mathsf {ZF}}$에서 정칙성 공리를 생략한 공리계이다.^{:Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14}
• ${\mathsf {ZF}}$^{:Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14}
• ${\mathsf {ZFC}}$
• ${\mathsf {ZFC}}$ + 도달 불가능한 기수가 존재하지 않는다.^{:148, Exercise IV.19}
• ${\mathsf {ZFC}}$ + 일반화 연속체 가설^{:175, Corollary VI.4.9}
• ${\mathsf {ZFC}}$ + 일반화 연속체 가설 + 도달 불가능한 기수가 존재하지 않는다.^{:177, Corollary VI.4.13}
• ${\mathsf {ZFC}}+V=L$^{:170, Corollary VI.3.4}
• ${\mathsf {ZFC}}+V=\operatorname {HOD}$^{:172, Corollary VI.3.11}
• ${\mathsf {ZFC}}+V\neq L+{\mathsf {GCH}}$^{:211, VII.5.17}
• ${\mathsf {ZFC}}+2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$^{:209, Corollary VII.5.15}
• ${\mathsf {ZF}}+\lnot {\mathsf {AC}}$^{:245, Exercise VII.E4}
• ${\mathsf {ZFC}}^{-}+\exists x\colon x=\{x\}$^{:148, Exercise IV.19}
• ${\mathsf {NBG}}$ (폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론). 이는 ${\mathsf {ZFC}}$의 보존적 확장이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다.

ZF(C)보다 약한 이론

다음과 같은 이론들은 ${\mathsf {ZF(C)}}$에 대하여 상대적으로 무모순적이지만 그 역은 성립하지 않는다.

${\mathsf {ZF}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {PA}})$

이며,

$\operatorname {Con} ({\mathsf {ZF-I}})\iff \operatorname {Con} ({\mathsf {PA}})$

이다.^{:149, IV.30} 여기서 ${\mathsf {PA}}$는 페아노 공리계이며, ${\mathsf {ZF-I}}$는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 무한 공리를 생략한 것이다. 따라서, (만약 ${\mathsf {ZF(C)}}$가 무모순적이라면) ${\mathsf {ZF(C)}}$는 ${\mathsf {ZF-I}}$보다 무모순성에 따르면 더 강력하다. 물론, $\mathbb {N} \models {\mathsf {PA}}$이다.

마찬가지로, 다음이 성립한다.^{:132, Theorem IV.6.5}

${\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} \left({\mathsf {ZFC-P}}\right)$

여기서 ${\mathsf {ZFC-P}}$는 ${\mathsf {ZFC}}$에서 멱집합 공리를 제거하고, 대신 "모든 집합이 가산 집합이다"를 추가한 것이다. 사실, $H_{\aleph _{1}}\models {\mathsf {ZFC-P}}$이다. 여기서 $H_{\aleph _{1}}$은 유전적 가산 집합들의 집합이다.

마찬가지로, 다음이 성립한다.^{:123, Theorem IV.3.13}

${\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC-I}}+\lnot {\mathsf {I}})$

여기서 ${\mathsf {ZFC-I}}+\lnot {\mathsf {I}}$는 ${\mathsf {ZFC}}$에서 무한 공리를 제거하고, 대신 그 부정을 추가한 것이다. 사실, $V_{\omega }\models {\mathsf {ZFC-I}}+\lnot {\mathsf {I}}$이다. 여기서 $V_{\omega }$는 유전적 유한 집합들의 집합(즉, 폰 노이만 전체의 $\omega$번째 단계)이다.

ZFC보다 강한 이론

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC는 도달 불가능한 기수(및 기타 큰 기수)의 존재를 증명할 수 없다. 이는 ZFC+도달 불가능한 기수의 존재로부터 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있기 때문이다.

모스-켈리 집합론(영어: Morse–Kelley set theory) 역시 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있어 ZFC보다 더 강한 이론이다.

유한 공리화의 불가능성

ZFC는 공리 기본꼴(영어: axiom schema)을 포함하고 있으므로, 실제로는 무한히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. 리처드 몬터규(영어: Richard Montague)는 1961년에 ZFC도 ZF도 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 반면, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 유한 개의 공리로 공리화할 수 있다.

역사

1890년대의 칸토어 역설의 발견과 1901년의 러셀의 역설의 발견으로, 엄밀한 수학기초론의 필요성이 대두되었다.

1904년에 에른스트 체르멜로는 정렬 정리를 증명하기 위하여 선택 공리를 도입하였다. 1908년, 에른스트 체르멜로는 최초의 공리적 집합론인 체르멜로 집합론을 발표했다. 그러나 체르멜로 집합론은 순서수를 구성하기에 부족하였다. 구체적으로, 체르멜로 집합론에서는 알레프 수 $\aleph _{\omega }$를 정의할 수 없다. 또한, 체르멜로의 분류 공리꼴(독일어: Axiom der Aussonderung)에는 "명확한"(독일어: definit) 성질이라는 표현이 포함되어 있었는데, 이 개념은 엄밀하게 정의되지 않았다.

1907년에 러시아의 수학자 드미트리 미리마노프(러시아어: Дми́трий Семёнович Мирима́нов)는 집합의 정칙성의 개념을 정의하였고, 이 성질이 체르멜로의 공리계로부터 유도되지 않는다는 사실을 지적하였다.

1910년에 헤르만 바일은 "명확한" 성질을 1차 논리로 정의할 수 있는 성질로 정의하였다. 1922년에 토랄프 스콜렘 또한 같은 제안을 하였다.

또한, 1922년에 아브라함 프렝켈과 스콜렘 은 체르멜로의 공리계에 치환 공리꼴(독일어: Ersetzungsaxiom)을 추가하였다. 존 폰 노이만은 여기에 집합의 정칙성을 표현하는 정칙적 공리를 추가하여 ZFC를 완성하였다.

외부 링크

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