클리퍼드 군

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이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, 영어: Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 이며, 직교군의 특정한 확대이다.

정의[편집]

국소 동차 원소[편집]

가환환 가 주어졌을 때, -등급 -대수 의 원소 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소(영어: locally homogeneous element)라고 한다.[1]:233, Lemma 5.1.4[2]:149, §III.6.1

  • , 인 원소 가 존재한다.
  • 모든 소 아이디얼 에 대하여, 는 동차 원소이다. 여기서 환의 스펙트럼이며, 에서의 가환환의 국소화이다.
  • 모든 극대 아이디얼 에 대하여, 는 동차 원소이다. 여기서 에서의 가환환의 국소화이다.

(물론 인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 가역원군 의 부분군을 이룬다.

국소 동차 가역원 가 주어졌으며, 가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, 이며, 다음과 같은 -자기 동형을 정의할 수 있다.[1]:234[2]:158, §III.6.5

여기서

등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.

클리퍼드 군[편집]

가환환 위의 클리퍼드 대수 클리퍼드 군(영어: Clifford group)

은 다음과 같은 원소 로 구성된, 가역원군부분군이다.[2]:228, §IV.6.1

  • 가역원이며 국소 동차 원소이다.
  • 이다.
  • 모든 에 대하여, 이다.

즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.

가환환 위의 클리퍼드 대수 특수 클리퍼드 군(영어: special Clifford group)

은 다음과 같다.[2]:228, §IV.6.1

즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.

스핀 군과 핀 군[편집]

클리퍼드 군 의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군핀 군(영어: pin group)이라고 한다.[2]:230, §IV.6.2

마찬가지로, 다음과 같은 부분군스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.[2]:230, §IV.6.2

성질[편집]

임의의 가환환 위의 가군 위의 이차 형식 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

체 위의 클리퍼드 군[편집]

라고 하고, 가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 -대수군짧은 완전열을 이룬다.

여기서

  • 에서 1의 제곱근대수군이다. 만약 의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다.
  • 속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 제곱 유군이다.
  • 준동형 은 스피너 노름이다. 마찬가지로 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
  • 는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 의 부분군이다.
  • 준동형 는 클리퍼드 군의 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. 역시 마찬가지다.

위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.

(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

여기서

  • 는 딕슨 불변량이며, 는 그 제한이다.
  • 는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, 는 그 제한이다.

실수 계수[편집]

이며, 차원 실수 벡터 공간이며, 비퇴화 이차 형식일 때, 가역원군 차원 리 군을 이룬다. 만약 음의 정부호 이차 형식이라면, 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

즉, 차원 리 군이다. 전체 가역원군 차원 리 군이므로, 이는 여차원 부분군이다.

직교군과의 관계[편집]

정의에 따라, 클리퍼드 군 위의 -선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 를 보존하며, 따라서 직교군

으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

클리퍼드 군 부분 집합으로 포함한다 (가역원군). 이 경우

이다. 즉, 의 작용은 를 축 에 대하여 반사시키는 것이다.

딕슨 불변량[편집]

이며, 가 유한 차원 벡터 공간이며, 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다.

즉, 이는 로 인하여 생성되는 -선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

갈루아 코호몰로지와의 관계[편집]

위의 유한 차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 에 대하여, 짧은 완전열

에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지 긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다.

여기서 0차 갈루아 코호몰로지

등은 단순히 계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지

제곱 유군이며, 연결 사상 는 스피너 노름이 된다.

참고 문헌[편집]

  1. Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8605-4. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. 
  2. Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. 

외부 링크[편집]