케일리-딕슨 구성

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추상대수학에서, 케일리-딕슨 구성(영어: Cayley–Dickson construction)은 어떤 환 위의 대수에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다. 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다.

정의[편집]

유사환 위의 (결합 법칙을 따르지 않을 수 있는) 대수 가 주어졌고, 또한 위의 -선형 대합

을 만족시킨다고 하자.

그렇다면, -가군직합 위에 다음과 같은 -대수 구조 및 대합을 줄 수 있다.

즉, 새 원소 를 추가하며, 로 쓰면, 모든 에 대하여 다음과 같은 대수 관계를 준다.

그렇다면 이는 대합을 갖는 -대수 를 이룬다. 또한, 이에 따라 표준적인 단사 -대수 준동형 가 주어진다.

성질[편집]

유사환 위의 대합 대수 및 그 케일리-딕슨 대수 에 대하여, 가 다음 조건을 만족시킨다면, 는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

의 성질 의 성질
단위원 을 갖는다 단위원 를 갖는다
*-조건이 성립 *-조건이 성립
교환 법칙이 성립하며, 는 항등 함수 교환 법칙이 성립
교환 법칙·결합 법칙이 성립 결합 법칙이 성립
결합 법칙이 성립하며, *-조건이 성립 교대 대수

여기서 -조건은 다음과 같다.

  • 모든 에 대하여,

여기서

는 각각 교환자결합자이다.

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실수 를 스스로 위의 대수로 여겨, 케일리-딕슨 구성을 가하면, 다음과 같다.

대수 이름 성질
실수 교환 법칙 · 결합 법칙 · 대합이 항등 함수 · 단위원 존재
복소수 교환 법칙 · 결합 법칙 · 단위원 존재
사원수 결합 법칙 · *-조건 · 단위원 존재
팔원수 교대 대수 · *-조건 · 단위원 존재
십육원수 *-조건 · 단위원 존재

이 대수들의 경우

이므로, 곱셈과 호환되는 노름 을 줄 수 있다.

역사[편집]

아서 케일리와 레너드 유진 딕슨(영어: Leonard Eugene Dickson)[1] 이 도입하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Dickson, L. E. (1919). “On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem”. 《Annals of Mathematics》. Second Series (영어) 20 (3): 155–171. ISSN 0003-486X. JSTOR 1967865. doi:10.2307/1967865. 

외부 링크[편집]