브라운 표현 정리

호모토피 이론에서 브라운 표현 정리(Brown表現定理, 영어: Brown representability theorem)는 위상 공간의 호모토피 범주 위의 함자가 표현 가능 함자인지 여부에 대한 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

정의

점을 가진 연결 CW 복합체와 호모토피류의 범주 $\operatorname {hCW_{\bullet }^{con}}$를 생각하자. 이 범주는 모든 연결 공간의 약한 호모토피 동치에 대한 호모토피 범주와 동치이다.

이 범주에서 점을 가진 집합의 범주로 가는 함자

$F\colon \operatorname {hCW_{\bullet }^{con}} \to \operatorname {Set_{\bullet }^{op}}$

가 주어졌다고 하자. 브라운 표현 정리에 따르면, $F$가 표현 가능 함자일 필요충분조건은 $F$가 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

• $F$는 쌍대곱을 보존한다. 즉, $\operatorname {hCW_{\bullet }^{con}}$의 쌍대곱(쐐기합)을 $\operatorname {Set_{\bullet }^{op}}$의 쌍대곱 ($\operatorname {Set_{\bullet }}$의 곱, 즉 곱집합)으로 대응시킨다.
• $F$는 $\operatorname {hCW_{\bullet }^{con}}$의 약한 밂(영어: weak pushout, 즉 호모토피 밂)을 $\operatorname {Set_{\bullet }^{op}}$의 약한 밂($\operatorname {Set} _{\bullet }$의 약한 당김)으로 대응시킨다.

브라운 표현 정리는 연결 공간 또는 점을 가진 공간 조건을 생략한다면 더 이상 성립하지 않는다.

예

브라운 표현 정리에 따라, 각 아벨 군 $G\in \operatorname {Ab}$ 및 차수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 특이 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{n}(-;G)$는 표현 가능 함자를 이룬다. 이를 표현하는 CW 복합체는 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$이다.

역사

에드거 헨리 브라운 2세(영어: Edgar Henry Brown, Jr.)가 1962년에 증명하였다.

외부 링크

• “Brown representability theorem”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 12월 7일). “Brown representability I”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 12월 8일). “Brown representability II”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2011년 10월 10일). “Brown representability and infinity-categories”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Shulman, Mike (2012년 8월 24일). “Brown representability”. 《The n-Category Café》 (영어). 
• “On Brown representability theorem” (영어). Math Overflow. 
• “Brown representability for non-connected spaces” (영어). Math Overflow.