분해 불가능 대상

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범주론에서, 분해 불가능 대상(分解不可能對象, 영어: indecomposable object)은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다.

정의[편집]

시작 대상 및 모든 쌍대곱을 갖는 범주 의 대상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 분해 불가능 대상(영어: indecomposable object)이라고 한다.

  • 임의의 대상들의 집합 동형 에 대하여, 이며 가 되는 가 유일하게 존재한다.

여기서 쌍대곱을 뜻한다.

마찬가지로, 끝 대상 및 모든 을 갖는 범주 의 대상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 쌍대 분해 불가능 대상(영어: coindecomposable object)이라고 한다.

  • 임의의 대상들의 집합 동형 에 대하여, 이며 가 되는 가 유일하게 존재한다.

여기서 을 뜻한다.

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집합[편집]

집합함수의 범주 에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다.

준층[편집]

작은 범주 가 주어졌을 때, 준층 범주 속의 대상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Proposition 1.5

  • 분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다.
  • 에서 어떤 표현 가능 준층 으로 가는 분할 단사 사상 이 존재한다.

가군[편집]

가 주어졌을 때, 분해 불가능 왼쪽 가군(영어: indecomposable left module)은 -왼쪽 가군 범주 의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, 와 같은 꼴로 분해할 수 없는 가군을 뜻한다.

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 분해 불가능 가군이다.
  • 영가군이 아니며, 자기 사상환 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.

이는 만약 자기 사상환 의 멱등원 이 주어졌을 때, 가 되기 때문이다.

위의 왼쪽 가군 이 유한한 길이를 갖는다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

피팅 보조정리(영어: Fitting lemma)에 따르면, 위의 분해 불가능 왼쪽 가군 이 유한한 길이를 갖는다면, 의 모든 자기 사상자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다.

모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이다. 그러나 단순 가군이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.

참고 문헌[편집]

  1. Moerdijk, I.; van Oosten, J. (2007). “Topos theory” (PDF) (영어). 

외부 링크[편집]