멱등원

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환론모노이드 이론에서, 멱등원(蓂等元, 영어: idempotent element)은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.

정의[편집]

범주의 멱등 사상[편집]

범주 자기 사상 를 만족시킨다면, 멱등 사상(영어: idempotent morphism)이라고 한다.

만약 이며 가 되는 사상 , 가 존재한다면, 분할 멱등 사상(영어: split idempotent morphism)이라고 한다.

카루비 껍질(영어: Karoubi envelope) 는 다음과 같은 범주이다.

  • 의 대상 의 대상 위의 멱등 사상 순서쌍이다.
  • 의 사상 의 사상 가운데, 인 것이다.
  • 위의 항등 사상이다.

카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.

그렇다면, 충실충만한 함자

가 존재한다. 또한, 준층 범주의 동치

가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자

가 존재한다.

모노이드의 멱등원[편집]

모노이드 의 원소 을 만족시킨다면, 멱등원이라고 한다.

모노이드 의 멱등원들만으로 구성된 집합 에서, 만약

가 성립한다면, 직교 멱등원 집합(영어: set of mutually orthogonal idempotents)이라고 한다.

모든 원소가 멱등원인 모노이드를 멱등 모노이드(영어: nilpotent monoid)라고 하며, 그 모임대수 구조 다양체를 이룬다. 개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005345)

환의 멱등원[편집]

은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.

의 멱등원 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원(영어: primitive idempotent)이라고 한다.

  • -분해 불가능 오른쪽 가군이다.
  • -분해 불가능 왼쪽 가군이다.
  • 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
  • 이자 , 인 멱등원 가 존재하지 않는다.

의 멱등원 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원(영어: local idempotent)이라고 한다.

모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.

외부 링크[편집]