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미분 사상

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만약 지도인 φ가 다양체 M의 모든 점을 다양체 N으로 운반한다면, φ의 밀어내기는 M의 모든 점에서 접공간의 벡터를 N의 모든 점에서 접공간으로 운반한다.

매끄러운 다양체 사이에서 정의된 매끄러운 함수 φ : MN가 있을 때, φ의 점 xM에서의 미분 사상(differential)은 x 부근에서 φ를 선형 근사한 것이다. 구체적으로 말해서, φ의 미분 사상이란 Mx에서의 접공간N의 φ(x)에서의 접공간으로 보내는 선형 사상이다. 당김과 대응되는 개념으로, (pushforward)이라고도 부른다.

매끄러운 함수의 미분 사상

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φ : MN를 매끄러운 다양체 사이에서 정의된 매끄러운 함수라 정의하자. xM가 주어졌을 때, M의 x에서의 접공간, N의 φ(x)에서의 접공간이라 정의하자. 그러면 φ의 x에서의 미분 사상은 다음과 같은 선형 사상이다.

만약 접공간을 γ(0) = x가 성립하는 곡선들 중 특정 성질을 만족하는 동치류로 정의했다면, 미분 사상은 다음과 같이 된다.

참고

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  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
  • Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
  • Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.

같이 보기

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