쿠르트 괴델

쿠르트 프리드리히 괴델
1926년 무렵의 괴델
출생	1906년 4월 28일 오스트리아-헝가리 제국 모라바 브르노
사망	1978년 1월 14일(1978-01-14)(71세) 미국 뉴저지주 프린스턴
국적	오스트리아, 체코슬로바키아, 독일, 미국
종교	루터교(유신론적 관점)
출신 학교	빈 대학교 (철학박사, 1930)
주요 업적	괴델의 불완전성 정리 괴델의 완전성 정리 구성 가능 전체(구성 가능 우주) 순서수 정의 가능 집합 괴델 계량(닫힌 시간곡선) 괴델 논리·괴델–덤멧 논리 괴델 번호화 괴델의 속도 향상 정리 괴델의 존재론적 논증 괴델–겐첸 변환 괴델–맥킨지–타르스키 변환 폰 노이만–베른하이스–괴델 집합론 ω-일관 이론 연속체 가설의 ZF와의 양립 가능성 구성 가능 공리 콤팩트성 정리 응축 보조정리 대각선 보조정리 디알렉티카 해석
배우자	아델 님부르스키(1938 결혼)
수상	알베르트 아인슈타인 상(1951) 왕립학회 외국인 회원(1968) 미국 국가 과학 메달(1974)
분야	수학, 수리논리학, 물리학(일반상대성이론)
소속	프린스턴 고등연구소
박사 지도교수	한스 한
미국 시민권 심사에서의 이른바 ‘괴델의 허점’(헌법상 독재 가능성 지적) 일화

쿠르트 프리드리히 괴델(Kurt Friedrich Gödel, 1906년 4월 28일 ~ 1978년 1월 14일)은 수리논리학자, 수학자, 철학자이다. 아리스토텔레스와 고틀로프 프레게와 더불어 역사상 가장 중요한 논리학자 가운데 한 사람으로 평가되며, 20세기 과학과 철학의 사유에 지대한 영향을 미쳤다.

괴델은 1929년 빈 대학교 박사 논문에서 제1차 술어논리의 완전성 정리를 증명했고, 1931년에는 불완전성 정리를 발표했다. 불완전성 정리는 일정한 기술적 조건을 만족하는 형식 공리 체계가 자연수에 관한 모든 참을 판정할 수 없으며, 또한 자기 자신의 무모순성을 그 체계 내부에서 증명할 수 없음을 보인다. 이를 위해 그는 오늘날 ‘괴델 번호화’로 알려진 기법을 도입했다.

또한 그는 체르멜로–프렝켈 집합론(ZF)의 무모순성을 가정할 때 연속체 가설과 선택 공리를 그 체계로부터 반증할 수 없음을 보였다. 특히 1938년 구성 가능 전체(구성 가능 우주)를 제시하여 그 안에서 선택 공리와 일반화된 연속체 가설이 참임을 증명함으로써 두 명제가 ZF와 양립 가능함을 밝혔다. 이후 폴 코언이 상대 모형과 강제법을 통해 독립성을 완성했다.

생애

어린 시절과 교육

괴델은 1906년 브르노(당시 브륀)에서 독일어권의 유복한 시민계급 일가에 태어났다. 아버지 루돌프 괴델은 대형 직물 회사의 상무이사이자 지분 소유자였고, 어머니는 마리안네 괴델(혼전성 Handschuh)이었다. 오스트리아-헝가리 해체 후 그는 12세에 체코슬로바키아 국적을 취득했으나 스스로는 일생 내내 오스트리아인으로 여겼다. 어려서부터 건강이 좋지 않았으나 거의 모든 학과목에서 우수한 성적을 거두었다. 1912년 사립 시민학교에 입학하고 4년 뒤에는 제국 국립 김나지움에 진학했으며, 이후 1916~1924년 독일 국립 실과 김나지움(Deutsches Staats-Realgymnasium)에서 전 과목 우등으로 졸업했다. 1924년 빈 대학교에 입학해 처음에는 이론물리학을 염두에 두고 수학과 철학을 병행했고, 모리츠 슐리크가 이끄는 빈 학파 세미나에 참여하면서 수리논리학에 관심을 굳혔다.

빈에서의 수학과 철학

힐베르트와 아커만의 『이론 논리학의 기초(1928)』를 통해 “완전성” 문제가 제기되자 그는 이를 박사 주제로 삼았다. 1929년 한스 한의 지도로 제1차 술어논리의 완전성 정리를 증명한 논문을 제출했고, 1930년 박사학위를 받았다. 이후 괴델은 빈 대학 강사로 근무하였다. 1928년에는 이웃에 살던 아델 포르케르트(무용·마사지사)를 알게 되었고, 1938년 혼인신고를 하였다.

경력

1925년 학생 시절의 괴델

불완전성 정리

1930년 9월 쾨니히스베르크에서 열린 「정확과학의 인식론 제2차 회의」에서 그는 1차 논리 완전성 정리를 발표하며 이 결과가 고차 논리로 일반화되지 않음을 암시했다. 이듬해 「프린키피아 마테마티카와 관련 체계의 형식적으로 결정 불가능한 명제들」에서 다음을 보였다. (1) 체계가 ω-일관이면 구문론적으로 완전할 수 없다. (2) 공리계의 무모순성은 그 체계 내부에서 증명될 수 없다. 이를 위해 그는 문장·증명·증명가능성 개념을 자연수로 부호화하는 괴델 번호화를 개발했다. 또한 1932년 「직관주의 명제논리로」에서 직관논리가 유한값 논리가 아님을 보였고, 여기서 후일 괴델–덤멧 중간 논리가 정식화되었다.

1930년대 중반과 미국 방문

1932년 유급 강사 자격(하빌리타치온)을 얻고 1933년에는 사강사(Privatdozent)가 되었다. 1936년 스승 슐리크가 제자에게 피살되자 괴델은 심각한 신경 위기를 겪었고, 독살에 대한 공포 등 편집 증상을 보여 요양소에서 수개월 보냈다. 1933년 첫 미국 방문에서 알베르트 아인슈타인을 만나 교유를 시작했고 미국수학회 연례회의에서 강연했다. 1934년 프린스턴 고등연구소에서 「형식 수학 체계의 결정 불가능 명제들」 강의를 했고, 스티븐 클리니가 강의록을 정리했다. 1938년에는 「집합론 공리들과의 양립성」을 발표하며 가을을 프린스턴에서 보냈고, 1939년 봄에는 노터데임 대학교에 머물렀다.

프린스턴, 아인슈타인, 미국 시민권

1938년 3월 오스트리아가 합병되면서 그의 대학 내 지위가 흔들렸고 징집 위험도 커졌다. 1939년 말 그는 아델과 함께 시베리아 횡단철도와 일본을 거쳐 1940년 3월 샌프란시스코에 도착한 뒤 열차로 프린스턴에 왔다. 프린스턴 고등연구소에서 1946년 정회원, 1953년 교수, 1976년 명예교수가 되었다.

아인슈타인과는 매일 같이 연구소와 집을 오가며 산책할 정도로 가까웠다. 경제학자 모르겐슈테른의 회고에 따르면, 말년의 아인슈타인은 “요즘 내 일은 별 의미가 없고, 괴델과 함께 걸어갈 특권 때문에 연구소에 온다”고 말하곤 했다. 1947년 12월 5일 미국 시민권 심사에서 괴델은 미국 헌법의 모순 가능성(‘괴델의 허점’)을 설명하려다 판사 필립 포먼이 말을 돌려 무사히 통과했다.

물리학과 철학으로의 확장

1949년 그는 아인슈타인 방정식의 해 가운데 닫힌 시간곡선을 포함하는 회전 우주(괴델 계량)를 제시해 과거로의 시간여행 가능성을 보였다. 철학적으로는 라이프니츠를 특히 애호하여 그의 작업을 정밀하게 연구했고, 1970년대 초에는 안셀무스의 존재론적 논증의 현대적 형식화를 지인들에게 배포했다.

개인사와 죽음

결혼 후 두 사람은 1939년에 미국으로 이주했다. 괴델은 여러 차례 정신적 불안정과 질환을 겪었고, 때로는 아스퍼거 증후군이나 강박장애가 있었을 가능성이 제기되었다. 1936년 슐리크 피살 사건 이후 독살에 대한 강박적 공포가 심해져 아내가 준비하지 않은 음식은 먹지 않았다. 그는 자신의 방에 틀어박혀 다른 사람과 만나지 않는 일이 잦았고 신의 존재를 증명하는 데에 매달려 있었다. 1977년 말 아델이 입원하자 그는 식사를 거부했고, 1978년 1월 14일 프린스턴 병원에서 “성격 장애로 인한 영양실조와 탈진”으로 사망했다. 프린스턴 묘지에 안장되었고, 아델은 1981년에 사망하며 그의 유고를 프린스턴 고등연구소에 기증했다.

종교관

괴델은 인격신을 믿는 유신론자로서 자신의 철학을 “합리주의적, 관념론적, 낙관주의적, 신학적”이라고 불렀다. 사후세계의 합리적 가능성을 옹호했고, 성서와 다양한 종교 문헌을 폭넓게 읽었다.

수상과 영예

그는 1951년(줄리안 슈윙어와 공동) 알베르트 아인슈타인 상의 초대 수상자가 되었고, 1968년 왕립학회 외국인 회원, 1974년 미국 국가 과학 메달 수훈자로 선정되었다. 1950년 케임브리지(매사추세츠)에서 열린 국제수학자대회(ICM)에서 전체강연을 했다.

저작 및 주요 논문

독일어

• 1930, 「논리 함수 계산의 공리들의 완전성」, 월간수학과물리학 37: 349–360.
• 1931, 「프린키피아 마테마티카와 관련 체계의 형식적으로 결정 불가능한 명제들, I」, 월간수학과물리학 38: 173–198.
• 1932, 「직관주의 명제논리로」, 빈 학술원 알게마이너 안차이거 69: 65–66.

영어

• 1940, 『선택 공리와 일반화된 연속체 가설의 무모순성』, 프린스턴 대학교 출판부.
• 1947, 「칸토어의 연속체 문제란 무엇인가?」, 아메리칸 매스매티컬 먼슬리 54: 515–525. (1964/1984년 개정판 수록)
• 1950, 「일반상대론에서의 회전 우주」, 국제수학자대회 회의록 1: 175–181.

번역본과 선집

• 1962/1992, 『프린키피아 마테마티카와 관련 체계의 형식적으로 결정 불가능한 명제들』, B. 멜처 번역(도버 재간), 리처드 브레이드웨이트 서문.
• 2000, 마르틴 히르첼 번역본 「형식적으로 결정 불가능한 명제들」.
• 『수리논리의 원천(1879–1931)』(하버드, 1967) 수록: 1930년 「완전성」, 1931년 「형식적으로 결정 불가능한 명제들」 등.
• 『괴델 전집』 I–V권(1986–2003), 솔로몬 페퍼먼 엮음, 옥스퍼드 대학교 출판부.
• 『철학적 노트북(Philosophische Notizbücher)』 1–6권, 데 그루이터(에바-마리아 엥겔렌 편).

같이 보기

• 불완전성 정리
• 괴델, 에셔, 바흐
• 괴델 퍼지 논리
• 괴델 기계
• 괴델상(Gödel Prize)
• T-노름(괴델 t-노름)
• 괴델의 존재론적 논증
• 무한값 논리
• 오스트리아 과학자 목록
• 컴퓨터 과학 개척자 목록
• 수학적 플라톤주의
• 괴델 완전성 정리의 원래 증명
• 원시 재귀 함수적
• 증명가능성 논리(괴델–뢰브 논리)
• 기묘한 고리
• 타르스키의 정의 불가능성 정리
• 세계 논리의 날

참고 문헌

• 도슨, 존 W., 1997, 『논리적 딜레마: 쿠르트 괴델의 생애와 작업』, AK 피터스(웰즐리).
• 골드스타인, 레베카, 2005, 『불완전성: 쿠르트 괴델의 증명과 역설』, W. W. 노턴.
• 왕하오, 1987, 『쿠르트 괴델에 대한 성찰』, MIT 프레스.
• 왕하오, 1996, 『논리의 여정: 괴델에서 철학으로』, MIT 프레스.

추가 읽을거리

• 부댜인스키, 스티븐, 2021, 『이성의 가장자리로의 여정: 쿠르트 괴델의 삶』, W. W. 노턴.
• 카스티, 존 L., 데파울리, 베르너, 2000, 『괴델: 논리·정신·수학의 삶』, 베이식 북스.
• 프란센, 토르켈, 2005, 『괴델의 정리: 그 사용과 오용에 대한 불완전 안내』, AK 피터스.
• 클리니, 스티븐, 『수리논리학』(도버 재간).
• 너먼·나겔, 1958, 『괴델의 증명』, 뉴욕대학교 출판부.
• 유어그라우, 팔레, 1999, 『괴델이 만난 아인슈타인: 괴델 우주의 시간여행』, 오픈 코트.

외부 링크

• 쿠르트 괴델 - 파인드 어 그레이브
• O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2003년 10월). “쿠르트 괴델” (영어). 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교. 
• “쿠르트 괴델” (영어). 《수학 계보 프로젝트》. 미국 수학회.