힐베르트 프로그램
힐베르트 프로그램(영어: Hilbert's program)은 20세기 초 독일의 수학자 다비트 힐베르트가 주도한 수학계의 프로그램으로, 온전한 형식화를 통해 수학을 확고하며 완전한 토대 위에 올려놓겠다는 것을 목적으로 하였다.
힐베르트와 지지자들은 수학적 증명의 형식화를 통해 수학의 완전성과 무모순성을 보이려 하였다. 구체적으로는 첫째로 수학에 있어서 참인 것은 반드시 증명가능하며, 둘째로 온전한 공리와 추론규칙을 바탕으로 하면 아무리 형식적 추론을 전개해도 모순이 도출되지는 않으리라는 것을 보이려 하였던 것이고, 특히 이를 직관적인 "유한"(有限)의 범위에서 보이려는 직관주의적 입장이었던 것이다. 힐베르트는 본래 기하학의 공리를 정립하는 등 이러한 시도를 지속해오던 인물로, 그의 "우리는 알아야만 한다. 우리는 알게 될 것이다."라는 유명한 구절이 그의 철학을 잘 보여준다고 할 수 있다.
1900년 전후의 수 년간 수학의 기초가 되는 집합론에서 여러 모순(역설)들이 발견되었고, 힐베르트 프로그램은 이러한 모순을 도려낼 뿐 아니라 다시는 이러한 모순이 나타나지 않도록 수학 전체를 확고한 기반 위에 세워야 한다는 그들의 목적을 대두시켰다. 이러한 움직임에 많은 수학자들이 동참했고, 이는 수학의 확실한 체계가 발전하는 데 영향을 주었다.
그러나 1930년 쿠르트 괴델이 발표한 불완전성 정리에 의해 이 프로그램은 심각한 문제에 맞닥뜨렸다. 제2 불완전성 정리의 '페아노 공리계(자연수 체계)를 포함하는 귀납적 공리계가 무모순이라면 그 자신의 무모순을 증명할 수 없다'는 결과는 수학을 완전한 무모순의 체계 위에 올려놓으려던 힐베르트 프로그램은 물론 수학의 모든 분야에 큰 영향을 끼쳤으며 많은 수정이 불가피해졌다.
1934년 게르하르트 겐첸이 자름-제거 정리(cut-elimination theorem)를 완성시키며 페아노 공리계 산술의 무모순성을 보였지만, 증명의 정규화 과정에 초한 귀납법이 포함되면서 이것을 "유한"한 방법만으로 증명해낸 것으로 보기는 힘들다는 입장이 있으며, 이후 타케우치 가이시(Gaisi Takeuti) 등에 의한 2차 산술 체계에서의 증명 정규화 역시 유한주의, 구성주의에게는 방식이 아니었다. 현대까지 이러한 유한주의를 고수하는 수학자는 많지 않다.
각주[편집]
- G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493–565. Translated as 'The consistency of arithmetic', in The collected papers of Gerhard Gentzen, M. E. Szabo (ed.), 1969.
- D. Hilbert. 'Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie'. Mathematische Annalen 104:485–94. Translated by W. Ewald as 'The Grounding of Elementary Number Theory', pp. 266–273 in Mancosu (ed., 1998) From Brouwer to Hilbert: The debate on the foundations of mathematics in the 1920s, Oxford University Press. New York.
- S.G. Simpson, 1988. Partial realizations of Hilbert's program Archived 2012년 2월 7일 - 웨이백 머신. Journal of Symbolic Logic 53:349–363.
- R. Zach, 2006. Hilbert's Program Then and Now. Philosophy of Logic 5:411–447, arXiv:math/0508572 [math.LO].
