범주론과 일반위상수학에서 위상 함자(位相函子, 영어: topological functor)는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.[1]:407, §1
원천과 흡입[편집]
범주
의 원천(源泉, 영어: source 소스[*])
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[2]:125, Definition 1.1(1)
는 대상이다.
는
의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
는
의 사상들의 모임이다.
마찬가지로,
의 흡입(吸入, 영어: sink 싱크[*])
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
는 대상이다.
는
의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
는
의 사상들의 모임이다.
만약
가 공집합이라면, 원천
은 단순히 대상
이며, 만약
가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상
이다.
시작 원천과 끝 흡입[편집]
범주
의 원천
및 함자
가 주어졌다고 하자. 만약
가 다음 보편 성질을 만족시킨다면,
를
-시작 원천(始作源泉, 영어: initial source)이라고 한다.[2]:Definition 2.1(1)
- 임의의 대상
및 사상
및 사상족
에 대하여,
라면,
이자
인
가 유일하게 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f_{i}}{\to }}&Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f_{i}}{\to }}&\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b0de9037050155875ef9f8f1c1de6ac80f715a)
마찬가지로, 그 쌍대 개념인
-끝 흡입(-吸入, 영어:
-final sink)을 정의할 수 있다.
만약
가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 데카르트 사상이라고 한다.
두 범주
,
사이의 함자
가 주어졌다고 하자.
의 원천
에서, 만약
인
가 존재한다면, 원천
를
-구조 원천(構造源泉, 영어:
-structured source)이라고 한다.[2]:128, Definition 1.1(2) 마찬가지로
-구조 흡입(構造吸入, 영어:
-structured sink)을 정의한다.
-구조 원천
의 올림은
이자
인
-원천
이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}\exists X\\{\scriptstyle \exists f_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists f_{i}}\\Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}{\hat {X}}\\{\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\\\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f255fd05b591945f911c5c857347a93891e0b0db)
-구조 흡입의 올림 역시 마찬가지로 정의된다.
시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.
임의의
-구조 원천
이 만약 시작 원천
을 갖는다면,
를 원천
에 대한
의 시작
-구조(始作構造, 영어: initial
-structure)라고 한다. 마찬가지로,
-구조 흡입에 대한 끝
-구조(-構造, 영어: final
-structure)를 정의할 수 있다.
위상 함자[편집]
함자
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자(영어: topological functor)라고 한다.[2]:128, Definition 2.1(3)[3]:29–30, §2[4]:4, Definition 2.12
- 모든
-구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
- 모든
-구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.
위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.[1]
구체적 범주
에서, 만약
가 위상 함자라면, 이를 위상 구체적 범주(位相具體的範疇, 영어: topological concrete category)라고 하며, 흔히 위상 범주(位相範疇, 영어: topological category)로 줄여 부른다.
모든 위상 함자는 충실한 함자이다.[2]:129, Theorem 3.1
위상 함자
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 모든 구조 원천이 유일한 시작 올림을 갖는다.
- 모든 구조 흡입이 유일한 끝 올림을 갖는다.
- 모든 엉성함 원순서들은 부분 순서들이다. 즉, 만약
와
가
의 사상이며,
이며
라면,
이다.
(이 조건은 범주의 동치에 의하여 보존되지 않는 성질이다.)
가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.
위상 함자
에 대하여, 만약
가
라면,
역시
이다.
임의의 범주
에 대하여, 위상 함자
들은 자연 동형 아래 유일하다.[5]:6, Corollary 2.2
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.
- 집합과 함수의 범주
[4]:2, Example 2.1(25)
- 위상 공간과 연속 함수의 범주
[4]:2, Example 2.1(1)
- 콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주
[4]:2, Example 2.1(17)
- T1 공간과 연속 함수의 범주
[4]:2, Example 2.1(18)
- 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주
[4]:2, Example 2.1(19)
- 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주
[4]:2, Example 2.1(21)
- 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주
[4]:2, Example 2.1(2)
- 가측 공간과 가측 함수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {Measble} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f972b7223dab05307c5cbcb99bdbf6298f3798f0)
- 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주
[4]:2, Example 2.1(14)
- 부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주
[4]:2, Example 2.1(15)
- 확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주
[6]:233, Proposition B.1.2
- 로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주
[6]:233, Proposition B.1.2
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.
- 차분한 공간과 연속 함수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {SoberTop} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928fff4e72d96edca567f18e27638b020f2554eb)
- 정규 공간과 연속 함수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {NormTop} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cadec485716a29536b9a09f3b31a448117ab92)
- 정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {NormHausTop} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bac406d8b4ef446fadebbfaabeaa6b678d55c8)
- 장소와 장소 사상의 범주
![{\displaystyle \operatorname {Loc} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1066b5c47d93d5c8e812b0c5a3a44867d4fda1f)
- 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {Diff} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f8cb83dec8847cb0a68ee953aab57f472c9677)
위상 공간[편집]
위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(始作位相, 영어: initial topology)과 끝 위상(-位相, 영어: final topology)이라고 불린다.
즉, 집합
와 위상 공간들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,
위의 시작 위상은
들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로,
의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.
![{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(U)\mid U\in \operatorname {Open} (Y_{i})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83c13f5ac19f838a91da73bf6646b258b866fa9)
여기서
는
의 위상(열린집합들의 족)이다.
마찬가지로, 집합
와 위상 공간들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,
위의 끝 위상은
들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로,
의 끝 위상은 다음과 같다.
![{\displaystyle U\in \operatorname {Open} (X)\iff \forall i\in I\colon f^{-1}(U)\in \operatorname {Open} (Y_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d4c799b4a0b91aae9b1eee6afe14cc0e7a1810)
가측 공간[편집]
집합
와 가측 공간들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면
위의 시작 시그마 대수(영어: initial sigma-algebra)는
들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로,
의 시작 시그마 대수는
![{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(S)\mid S\in \Sigma _{i}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46550698a757e3dff5f3008b1c6554778649558)
로 생성된다.
마찬가지로, 집합
와 가측 공간들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면
위의 끝 시그마 대수(영어: final sigma-algebra)는
들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로,
의 끝 시그마 대수
는 다음과 같다.
![{\displaystyle S\in \Sigma \iff \forall i\in I\colon f^{-1}(S)\in \Sigma _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffcee49544e5ed77d2160d116e35738332e4155)
균등 공간[편집]
집합
와 균등 공간들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면
위의 시작 균등 구조(영어: initial uniform structure)는
들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로,
의 시작 균등 구조는
![{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(E)\mid E\in {\mathcal {E}}_{i}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9adbd4956198c96bbeed2619f5cd6b8b3bf422)
로 생성된다.
마찬가지로, 집합
와 균등 공간들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면
위의 끝 균등 구조(영어: final uniform structure)는
들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로,
의 끝 균등 구조
는 다음과 같다.
![{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}^{-1}(E)\in {\mathcal {E}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80579a7ddb655f047befb06e6f3bffe138f7c094)
유계형 집합[편집]
집합
와 유계형 집합들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면
위의 시작 유계형(영어: initial bornology)은
들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로,
의 시작 유계형은 다음과 같다.
![{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}(B)\in {\mathcal {B}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889c0e5b56b210c5ae0dace87056f2e226e52a67)
마찬가지로, 집합
와 유계형 집합들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면
위의 끝 유계형(영어: final bornology)은
들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로,
의 끝 유계형은
![{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}_{i}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4764df9c5a1b1ceec4f69d09e1f195dec6707f)
로 생성된다.
원순서 집합[편집]
집합
와 원순서 집합들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면
위의 시작 원순서(영어: initial preorder)는
들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로,
의 시작 원순서는 다음과 같다.
![{\displaystyle a\lesssim b\iff \forall i\in I\colon f_{i}(a)\lesssim _{i}f_{i}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c4e9f50498ca947ce55ea35af896d7fd538fd1)
마찬가지로, 집합
와 원순서 집합들의 족
및 함수족
가 주어졌다고 하자. (
는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면
위의 끝 원순서(영어: final preorder)는
들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로,
의 끝 원순서
는
![{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{(f_{i}(a),f_{i}(b))\colon a\lesssim _{i}b,\;a,b\in Y_{i}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0c987af4b361f467dfc7fbe327149ad440d20b)
로 생성된다.
1974년에 호르스트 헤를리히(독일어: Horst Herrlich, 1937~2015)가 도입하였다.[2]
- ↑ 가 나 Garner, Richard (2014년 8월 12일). “Topological functors as total categories”. 《Theory and Applications of Categories》 (영어) 29 (15): 406–421. arXiv:1310.0903. Bibcode:2013arXiv1310.0903G. ISSN 1201-561X. Zbl 1305.18005.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 Herrlich, Horst (1974년 6월). “Topological functors”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 4 (2): 125–142. doi:10.1016/0016-660X(74)90016-6.
- ↑ Brümmer, G. C. L. (1984년 9월). “Topological categories”. 《Topology and its Applications》 (영어) 18 (1): 27–41. doi:10.1016/0166-8641(84)90029-4. ISSN 0166-8641.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 Lowen, Robert; Sioen, Mark; Verwulgen, Stijn (2009). 〈Categorical topology〉. Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott. 《Beyond topology》. Contemporary Mathematics (영어) 486. American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/486/9506. ISBN 978-0-8218-4279-9. MR 2521941.
- ↑ Hoffmann, Rudolf-E. (1975). “Topological functors and factorizations”. 《Archives of Mathematics》 (영어) 26: 1–7. doi:10.1007/BF01229694. ISSN 0003-889X. MR 0428255. Zbl 0309.18002.
- ↑ 가 나 Lowen, Robert (1997). 《Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0. MR 472024. Zbl 0891.54001.
외부 링크[편집]