로비어 공간

기하학에서 로비어 공간(Lawvere空間) 또는 일반화 거리 공간(一般化距離空間, 영어: generalized metric space) 또는 반거리 공간(半距離空間, 영어: hemimetric space) 또는 확장 준 유사 거리 공간(擴張準類似距離空間, 영어: extended quasipseudometric space, 약자 ∞qp-거리 공간 영어: ∞qp-metric space)은 거리 공간 및 유사 거리 공간 및 확장 유사 거리 공간의 개념의 일반화이다. 위 경우와 달리, “거리 함수”가 대칭적이지 못할 수 있다.

정의

로비어 공간의 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다.

• 기초적으로, 일련의 공리를 만족시키는 거리 함수를 갖춘 집합으로 정의될 수 있다.
• 더 일반적인 개념은 접근 공간(영어: approach space)의 특수한 경우로 정의될 수 있다.
• 풍성한 범주의 이론을 사용하여, 음이 아닌 확장된 실수의 닫힌 모노이드 범주 위의 풍성한 범주로 정의될 수 있다.

두 정의는 서로 동치이다. 그러나 범주론적 정의를 사용하면, 기초적 정의에서 일일이 정의해야 하는 개념들이 범주론적 구성들의 특별한 경우로 자동적으로 얻어진다.

기초적 정의

집합 $X$ 위의 로비어 계량(영어: Lawvere metric)은 다음 두 조건을 만족시키는, 확장된 실수 값 함수

$d\colon X^{2}\to [0,\infty ]$

이다.^{:231, Definition B.1.1}

• (삼각 부등식) 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, $d(x,y)+d(y,z)\leq d(x,z)$
• 임의의 $x\in X$에 대하여, $d(x,x)=0$

다만, 위 정의에서 $d(x,y)=d(y,x)$일 필요는 없다. 이 조건을 추가로 만족시키는 로비어 공간을 확장 유사 거리 공간이라고 한다. 만약 $d$의 값이 항상 추가로 유한하다면 이는 유사 거리 공간이 된다.

로비어 공간들과 상수 1의 립시츠 연속 함수들, 즉 함수 $f\colon (X,d_{X})\to (Y,d_{Y})$ 가운데

$d_{X}(x,x')\leq d_{Y}(f(x),f(x'))$

를 만족시키는 것들은 구체적 범주를 이룬다. 이를 $\operatorname {\infty pqMet}$라고 표기하자.

접근 구조를 통한 정의

집합 $X$ 위의 접근 구조(接近構造, 영어: approach structure) $\delta$는 다음 네 조건을 만족시키는 함수

$\delta \colon X\times {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$

이다.

• $\forall x\in X\colon \delta (x,\{x\})=0$
• $\forall x\in X\colon \delta (x,\varnothing )=\infty$
• $\forall x\in X\forall A,B\subseteq X\colon \delta (x,A\cup B)=\min\{\delta (x,A),\delta (x,B)\}$
• $\forall \epsilon \in [0,\infty ]\forall x\in X\forall A\subseteq X\colon \delta (x,A)\leq \delta (x,\{y\in X\colon \delta (y,A)\leq \epsilon \})+\epsilon$

접근 구조를 갖춘 집합을 접근 공간(接近空間, 영어: approach space)이라고 하자. 그렇다면, 접근 공간 $(X,\delta )$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{:96, Theorem 3.1.11}

• 임의의 $x\in X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $\textstyle \delta (x,Y)=\inf _{y\in Y}\delta (x,\{y\})$
• 임의의 $x\in X$ 및 집합족 ${\mathcal {Y}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, $\textstyle \delta (x,\bigcup {\mathcal {Y}})=\inf _{Y\in {\mathcal {Y}}}\delta (x,Y)$
• $X\times X\to [0,\infty ]$, $(x,y)\mapsto \delta (x,\{y\})$는 로비어 계량을 이룬다.

이에 따라, 서로 동치인 위 조건들을 만족시키는 접근 공간을 로비어 공간이라고 한다. 다시 말해, 로비어 공간은 그 접근 구조를 한원소 집합만으로부터 재구성할 수 있는 접근 공간이다.

반대로, 로비어 공간 $(X,d)$이 주어졌을 때, 그 위의 접근 구조는

$\delta (x,Y)=\inf _{y\in Y}d(x,y)\in [0,\infty ]\qquad \forall Y\subseteq X$

가 된다.

범주론적 정의

다음과 같은 작은 범주 ${\mathcal {C}}=[0,\infty ]^{\operatorname {op} }$를 생각하자.

• ${\mathcal {C}}$의 대상은 음이 아닌 확장된 실수이다.
• 임의의 두 $a,b\in [0,\infty ]$에 대하여, 만약 $a\geq b$라면, 하나의 사상 $a\to b$가 존재한다.

이 범주는 완비 범주이며, 텐서곱

$a\otimes b=a+b$

에 대하여 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. 이에 따라 ${\mathcal {C}}$에 대한 풍성한 범주의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, ${\mathcal {C}}$-풍성한 작은 범주 $X$를 로비어 공간이라고 하며, 이 경우 풍성한 함자의 개념은 상수 1의 립시츠 연속 함수의 개념과 일치한다.

두 정의 사이의 관계는 다음과 같다.

기초적 정의	범주론적 정의
공간 속의 점	범주의 대상
거리 함수 $d(x,y)$	사상 집합 $\hom _{X}(x,y)$
삼각 부등식 $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$	사상의 합성 $\hom _{X}(y,z)\circ \hom _{X}(x,y)\to \hom _{X}(x,z)$
스스로와의 거리 $d(x,x)=0$	항등 사상

위상

유사 거리 공간의 경우와 달리, 로비어 공간 $(X,d)$ 위에는 다양한 위상이 사용된다.

로비어 공간 $(X,d)$ 위의, 중심 $x\in X$의, 반지름 $r\in (0,\infty ]$의 열린 공(영어: open ball)은 다음과 같다.^{:231, Definition B.1.1}

$\operatorname {ball} _{X}(x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}$

열린 공들의 집합족

$\left\{\operatorname {ball} _{X}(x,r)\colon r\in (0,\infty ],\;x\in X\right\}$

은 위상의 기저를 이루며, 이들로 생성되는 위상을 일반화 알렉산드로프 위상(영어: generalized Alexandroff topology) 또는 열린 공 위상(영어: open ball topology)이라고 한다.^{:21, §6}

증명:

다음 두 조건을 보이면 족하다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여 $\operatorname {ball} (x,\infty )=X$이므로, 열린 공들은 $X$의 덮개를 이룬다.
• 임의의 $x,y\in X$ 및 $r,s\in (0,\infty ]$ 및 $z\in \operatorname {ball} _{X}(x,r)\cap \operatorname {ball} _{X}(y,s)$에 대하여, $t=\min\{r-d(x,z),s-d(y,z)\}$를 정의하면, 삼각 부등식에 의하여 $\operatorname {ball} _{X}(z,t)\subseteq \operatorname {ball} _{X}(x,r)\cap \operatorname {ball} _{X}(y,s)$이다.

일반화 스콧 위상

로비어 공간 $(X,d)$ 속의 점렬 $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$이 다음 조건을 만족시키면 코시 열이라고 하자.^{:6, §3}

$\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\exists N_{\epsilon }\in \mathbb {N} \forall i\geq N_{\epsilon }\forall j\geq i\colon d(x_{i},x_{j})<\epsilon$

여기서 $j\geq i$이어야 하는 것에 주의하자. (마찬가지로 그 반대 개념을 정의할 수 있다. 즉, $X$의 코시 열과 $X^{\operatorname {op} }$의 코시 열은 일반적으로 다르다.) 코시 열 $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$에 대하여, 만약

$\limsup _{i\to \infty }d(x_{i},x)=0$

이라면, $x_{i}$가 $x$로 수렴한다고 하자.

로비어 공간 $(X,d)$ 위의 일반화 스콧 위상(영어: generalized Scott topology)에서, 부분 집합 $U\subseteq X$가 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

• 임의의 코시 열 $x_{0},x_{1},\dotsc \in X$가 $x\in X$로 수렴한다면,

  $x\in U\iff \exists (N,\epsilon )\in \mathbb {N} \times \mathbb {R} ^{+}\colon \bigcup _{i\geq N}\operatorname {ball} _{X}(x_{i},\epsilon )\subseteq U$

일반화 스콧 위상은 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상이며, 사실 이는 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상들 가운데 코시 열의 (위의 정의에 따른) 극한이 (일반위상수학의 정의에 따른) 극한이 되는 가장 엉성한 위상이다.

만약 $(X,d)$가 확장 유사 거리 공간이라면, 일반화 알렉산드로프 위상과 일반화 스콧 위상은 $X$의 일반적인 위상과 같다.^{:21–22, §6} 만약 $(X,d)$가 원순서 집합이라면 (즉, $d$의 치역이 $\{0,\infty \}$라면), $(X,d)$의 일반화 알렉산드로프 위상은 알렉산드로프 위상과 같다.^{:21, §6}

연산

반대 공간

임의의 로비어 공간 $(X,d)$에 대하여, 그 반대 로비어 공간(反對Lawvere空間, 영어: opposite Lawvere space) $X^{\operatorname {op} }=(X,d^{\operatorname {op} })$을 다음과 같이 정의할 수 있다.^{:5, §2}

$d^{\operatorname {op} }(x,y)=d(y,x)\qquad \forall x,y\in X$

이는 반대 범주의 개념의 특수한 경우이다.

대칭화

로비어 공간 $(X,d)$에 대하여, 그 거리 함수를 다음과 같이 두 가지로 대칭화할 수 있다.

$d^{\max(}x,y)=\max\{d(x,y),d(y,x)\}$

$d^{\text{avg}}(x,y)={\frac {1}{2}}\left(d(x,y)+d(y,x)\right)$

그렇다면, $(X,d^{\max })$와 $(X,d^{\text{avg}})$ 둘 다 확장 유사 거리 공간을 이룬다.

만약 $(X,d)$가 이미 확장 유사 거리 공간이라면 $(X,d)=(X,d^{\text{avg}})=(X,d^{\max })$이다.

상수배

로비어 공간 $(X,d)$ 및 음이 아닌 확장된 실수 $C\in [0,\infty ]$에 대하여, $(X,Cd)$ 역시 로비어 공간이다. (만약 $C=0$일 경우, 이는 비이산 공간이다. 만약 $C=\infty$일 경우, $\infty \cdot 0=0$으로 정의하며, 이는 원순서 집합이다.)

로비어 계량의 합성

집합 $X$ 위에 로비어 계량들의 족

$(d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ])_{i\in I}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\sup _{i\in I}d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ]$

$\sup _{i\in I}d_{i}\colon (x,y)\mapsto \sup _{i\in I}d_{i}(x,y)$

역시 로비어 계량을 이룬다. 이는 사실 항등 함수에 대한 시작 구조의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 가산 개의 로비어 계량의 족

$(d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ])_{i\in I}$

$|I|\leq \aleph _{0}$

이 주어졌을 때,

$\sum _{i\in I}d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ]$

$\sum _{i\in I}d_{i}\colon (x,y)\mapsto \sum _{i\in I}d_{i}(x,y)$

역시 로비어 계량을 이룬다. (특히, 만약 $I$가 유한 집합이라면, 평균 계량 $\textstyle \sum _{i\in I}d_{i}/|I|$ 역시 로비어 계량이다.)

주어진 함수를 상계로 하는 최대 로비어 계량

임의의 집합 $X$ 및 임의의 함수

$f\colon X\times X\to [0,\infty ]$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 집합

${\mathcal {D}}\subseteq [0,\infty ]^{X\times X}$

가

$d(x,y)\leq f(x,y)\qquad \forall x,y\in X$

를 만족시키는 로비어 계량 $d$들의 집합이라고 하자. ($d=0$이 로비어 계량이므로, 이는 항상 공집합이 아니다.) 그렇다면, 이는 최대 원소

$d^{\max }=\sup {\mathcal {D}}=\max {\mathcal {D}}$

$d^{\max }(x,y)=\sup _{d\in {\mathcal {D}}}d(x,y)$

를 가지며, 이는 $f$를 상계로 하는 최대의 로비어 계량이다.

구체적으로, 임의의 집합 $X$ 및 함수

$f\colon X\times X\to [0,\infty ]$

가 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

$d_{0}(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\\infty &x\neq y\end{cases}}$

$d_{1}(x,y)=f(x,y)$

$d_{i}(x_{0},x_{i})=\inf _{x_{1},\dotsc ,x_{i-1}\in X}\left(f(x_{0},x_{1})+f(x_{1},x_{2})+\dotsb +f(x_{i-1},x_{i})\right)\qquad (i=2,3,\dotsc )$

그렇다면, $f$에 의하여 생성되는 로비어 계량은 다음과 같다.

$d(x,y)=\inf _{i\in \mathbb {N} }d_{i}(x,y)$

몫공간

로비어 공간 $(X,d)$에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.^{:6, §2}

$x\sim _{0}y\iff d(x,y)=d(y,x)=0\qquad (x,y\in X)$

이에 대하여 몫집합

$X/\sim _{0}$

위에 자연스럽게 로비어 공간의 구조를 부여할 수 있다. 만약 $X$가 유사 거리 공간이라면, $X/\sim _{0}$는 거리 공간을 이룬다.

마찬가지로, 로비어 공간 $(X,d)$에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

$x\sim _{\infty }y\iff \max\{d(x,y),d(y,x)\}<\infty \qquad (x,y\in X)$

이에 대한 몫집합

$X/\sim _{\infty }$

은 대략 $X$의 “연결 성분”들의 집합으로 생각할 수 있다. $X/\sim _{\infty }$ 위에는 자연스럽게 원순서

$[x]_{\sim _{\infty }}\lesssim [y]_{\sim _{\infty }}\iff d(x,y)<\infty$

를 취할 수 있다. 만약 $X$가 원순서 집합이라면, $X/\sim _{\infty }=X$이다.

분리합

임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 $(X_{i},d_{i})_{i\in I}$의 분리합(영어: disjoint sum)은 집합으로서 분리합집합

$X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}$

이다. 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.

$d(x,y)={\begin{cases}d_{i}(x,y)&i=j\\\infty &i\neq j\end{cases}}\qquad (x\in X_{i},\;y\in X_{j})$

이 연산은 로비어 공간의 범주 $\operatorname {\infty pqMet}$의 범주론적 쌍대곱을 이룬다.

곱

임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 $(X_{i},d_{i})_{i\in I}$의 곱은 집합으로서 곱집합

$X=\prod _{i\in I}X_{i}$

이며, 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.

$d(x,y)=\sup _{i\in I}d_{i}(x_{i},y_{i})\qquad \forall x,y\in X$

이 연산은 로비어 공간의 범주 $\operatorname {\infty pqMet}$의 범주론적 곱을 이룬다.^{:233, §B.1}

시작 계량과 끝 계량

로비어 공간의 범주의 망각 함자 $\operatorname {\infty pqMet} \to \operatorname {Set}$는 위상 함자이므로, 시작 구조와 끝 구조를 정의할 수 있다.

구체적으로, 임의의 집합 $X$ 및 로비어 공간들의 족 $(Y_{i},d_{i})_{i\in I}$ 및 함수의 족 $(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$가 주어졌을 때, $(f_{i})_{i\in I}$로 유도되는, $X$ 위의 시작 로비어 계량(영어: initial Lawvere metric)은 다음과 같다.

$d_{X}(x,x')=\sup _{\in I}d_{i}(f_{i}(x),f_{i}(x'))$

마찬가지로, 임의의 집합 $X$ 및 로비어 공간들의 족 $(Y_{i},d_{i})_{i\in I}$ 및 함수의 족 $(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}$가 주어졌을 때, $(f_{i})_{i\in I}$로 유도되는, $X$ 위의 끝 로비어 계량(영어: final Lawvere metric)은 함수

$f\colon X\times X\to [0,\infty ]$

$f\colon (x,x')\mapsto \inf _{i\in I}d_{i}(f_{i}(x),f_{i}(x'))$

를 상계로 하는 최대 로비어 계량이다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

길이 거리 공간 ⇒ 거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간

범주론적 성질

로비어 공간의 범주 $\operatorname {\infty pqMet}$가 주어졌을 때, 망각 함자

$\operatorname {\infty pqMet} \to \operatorname {Set}$

는 위상 함자이다.^{:233, Proposition B.1.2} 특히, 만약 집합 $X$ 위의 임의의 함수족

$(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$

이 주어졌으며 $(Y_{i})_{i\in I}$들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 시작 로비어 계량(영어: initial Lawvere metric)을 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 시작 위상과 유사하다. 마찬가지로, 집합 $X$로 가는 임의의 함수족

$(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}$

이 주어졌으며 $(Y_{i})_{i\in I}$들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 끝 로비어 계량(영어: final Lawvere metric)을 항상 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 끝 위상과 유사하다.

또한, 위상 공간과 연속 함수의 범주로 가는 망각 함자

$\operatorname {\infty pqMet} \to \operatorname {Top}$

가 존재하며, 이는 로비어 공간에 열린 공 위상을 대응시킨다.

위상 공간의 로비어 계량을 통한 표현

임의의 위상은 일련의 로비어 계량들로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 $(X,{\mathcal {U}})$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, $X$ 위의 로비어 계량들의 집합 $(d_{i})_{i\in I}$이 존재한다.^{:95, Theorem 7}

• ${\mathcal {U}}$는 항등 함수 $f_{i}\colon X\to (X,d_{i})$들에 의하여 생성되는 시작 위상이다. (여기서 로비어 공간 $(X,d_{i})$에는 열린 공 위상을 부여한다.)
• $|I|\leq |{\mathcal {U}}|$이다.

구성:

위상 공간 $X$의 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, 다음을 정의하자.

$d_{U}(x,y)={\begin{cases}0&x\not \in U\\0&x\in U\ni y\\\infty &x\in U\not \ni y\end{cases}}$

이는 로비어 계량을 이루며, 이 로비어 계량으로 생성되는 위상은 한원소 집합 $\{U\}$를 기저로 하는 위상, 즉

$\{\varnothing ,U,X\}$

이다.

이에 따라, 로비어 계량들의 집합 $\{d_{U}\}_{U\in {\mathcal {U}}}$은 위 조건을 자명하게 만족시킨다.

역사와 어원

프랜시스 윌리엄 로비어가 도입하였다.

이 개념은 거리 공간의 개념을 일반화하는데, 이에 대하여 로비어는 다음과 같이 적었다.

“	The first of these [non-identity of two points with zero distance] is not very natural from the categorical viewpoint, since it corresponds to requiring that isomorphic objects are equal […]. Allowing ∞ among the quantities is precisely analogous to including the empty set among abstract sets, and it is done for similar reasons of completeness […]. The non-symmetry is the more serious generalization, and moreover occurs in many naturally arising examples, such as $X(a,b)=$ work required to get from $a$ to $b$ in mountainous region $X$. […] 첫째 [일반화] [즉, 거리가 0인 서로 다른 두 점이 존재할 수 있음]는 범주론적 관점에서 별로 자연스럽지 않다. 이는 서로 동형인 대상이 같다는 것에 해당하기 때문이다. […] [거리가] ∞인 것을 허용하는 것은 공집합을 집합으로 취급하는 것과 마찬가지로, 완비성에 의하여 필요하다. […] [거리 함수의] 비대칭성은 더 중대한 일반화이며, 다음과 같은 자연스러운 예들이 존재한다. 예를 들어, $X(a,b)=$ 산악 지방 $X$에서, $a$에서 $b$로 가는 데 필요한 에너지라고 하자. […]	”
	— :138

즉, 로비어 공간의 개념에서, 이 "거리" $d(x,y)$는 사실 어떤 "상태" 또는 "위치" $x$에서 $y$로 전이하는 데 드는 "에너지" 또는 "비용"이라고 여길 수 있다. 이 경우 로비어 공간의 공리들은 다음과 같이 해석된다.

• $x$에서 $z$로 이동하는 데 드는 비용은 이 경로를 $x\to y\to z$와 같이 분해했을 때 $x\to y$ 비용과 $x\to z$ 비용의 합보다 같거나 적다. (예를 들어, 만약 $y$를 거치지 않는 지름길이 있을 경우 부등식이 성립한다.)
• 상태 $x$에서, 이동하지 않는 데 드는 비용은 0이다. 즉, $d(x,x)=0$이다.
• 상태 $x$에서 $y$로 꼭 이동할 수 있을 필요는 없다. 만약 $x\to y$ 전이가 불가능하다면 $d(x,y)=\infty$이다.

간혹 사용되는 용어 ‘확장 준 유사 거리 공간’(영어: extended quasipseudometric space)에서, 각 성분은 고전적 거리 공간의 개념의 다음과 같은 일반화를 의미한다.

• 확장(擴張, 영어: extended): 계량 함수의 값이 ∞일 수 있음을 뜻한다.
• 준(準, 영어: quasi-): 계량 함수가 대칭적이지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, $d(x,y)\neq d(y,x)$일 수 있다.
• 유사(類似, 영어: pseudo-): 계량 함수가 분리공리를 만족시키지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, $x\neq y$이지만 $d(x,y)=0$일 수 있다.

예

모든 확장 유사 거리 공간은 로비어 공간이다.

시작 대상과 끝 대상

공집합 $\varnothing$ 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 시작 대상이다.

한원소 공간 $\{\bullet \}$ 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량($d(\bullet ,\bullet )=0$)이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 끝 대상이다.

원순서 집합

임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 주자.

$d(x,y)={\begin{cases}0&x\lesssim y\\\infty &x\not \lesssim y\end{cases}}$

그렇다면 $(X,d)$는 로비어 공간을 이룬다.^{:4, §2}

외부 링크

• “Quasi-metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Metric space”. 《nLab》 (영어). 
• Goubault-Larrecq, Jean (2011). “A few pearls in the theory of quasi-metric spaces” (PDF) (영어). 
• Avery, Tom (2014년 2월 21일). “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. 《The n-Category Café》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2012년 6월 23일). “Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)”. 《Annoying Precision》 (영어). 
• “Definition: quasimetric”. 《ProofWiki》 (영어).