위상 함자

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범주론일반위상수학에서, 위상 함자(位相函子, 영어: topological functor)는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.[1]:407, §1

정의[편집]

원천과 흡입[편집]

범주 원천(源泉, 영어: source 소스[*]) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[2]:125, Definition 1.1(1)

  • 는 대상이다.
  • 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
  • 의 사상들의 모임이다.

마찬가지로, 흡입(吸入, 영어: sink 싱크[*]) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 는 대상이다.
  • 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
  • 의 사상들의 모임이다.

만약 공집합이라면, 원천 은 단순히 대상 이며, 만약 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 이다.

시작 원천과 끝 흡입[편집]

범주 의 원천 함자 가 주어졌다고 하자. 만약 가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, -시작 원천(始作源泉, 영어: initial source)이라고 한다.[2]:Definition 2.1(1)

  • 임의의 대상 및 사상 및 사상족 에 대하여, 라면, 이자 가 유일하게 존재한다.

마찬가지로, 그 쌍대 개념인 -끝 흡입(-吸入, 영어: -final sink)을 정의할 수 있다.

만약 한원소 집합이라면, 시작 원천은 데카르트 사상이라고 한다.

올림[편집]

두 범주 , 사이의 함자 가 주어졌다고 하자. 의 원천 에서, 만약 가 존재한다면, 원천 -구조 원천(構造源泉, 영어: -structured source)이라고 한다.[2]:128, Definition 1.1(2) 마찬가지로 -구조 흡입(構造吸入, 영어: -structured sink)을 정의한다.

-구조 원천 올림(영어: lift)은 이자 -원천 이다.

-구조 흡입의 올림 역시 마찬가지로 정의된다. 시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

임의의 -구조 원천 이 만약 시작 원천 을 갖는다면, 를 원천 에 대한 시작 -구조(始作構造, 영어: initial -structure)라고 한다. 마찬가지로, -구조 흡입에 대한 -구조(-構造, 영어: final -structure)를 정의할 수 있다.

위상 함자[편집]

함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자(영어: topological functor)라고 한다.[2]:128, Definition 2.1(3)[3]:29–30, §2[4]:4, Definition 2.12

  • 모든 -구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
  • 모든 -구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.

위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.[1]

성질[편집]

모든 위상 함자는 충실한 함자이다.[2]:129, Theorem 3.1

가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.

위상 함자 에 대하여, 만약 라면, 역시 이다.

[편집]

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.

위상 공간[편집]

위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(始作位相, 영어: initial topology)과 끝 위상(-位相, 영어: final topology)이라고 불린다.

즉, 집합 와 위상 공간들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, 위의 시작 위상들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, 의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.

여기서 의 위상(열린집합들의 족)이다.

마찬가지로, 집합 와 위상 공간들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, 위의 끝 위상들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, 의 끝 위상은 다음과 같다.

가측 공간[편집]

집합 가측 공간들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 위의 시작 시그마 대수(영어: initial sigma-algebra)는 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, 의 시작 시그마 대수는

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 가측 공간들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 위의 시그마 대수(영어: final sigma-algebra)는 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, 의 끝 시그마 대수 는 다음과 같다.

균등 공간[편집]

집합 균등 공간들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 위의 시작 균등 구조(영어: initial uniform structure)는 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, 의 시작 균등 구조는

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 균등 공간들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 위의 끝 균등 구조(영어: final uniform structure)는 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, 의 끝 균등 구조 는 다음과 같다.

유계형 집합[편집]

집합 유계형 집합들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 위의 시작 유계형(영어: initial bornology)은 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, 의 시작 유계형은 다음과 같다.

마찬가지로, 집합 유계형 집합들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 위의 끝 유계형(영어: final bornology)은 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, 의 끝 유계형은

로 생성된다.

원순서 집합[편집]

집합 원순서 집합들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 위의 시작 원순서(영어: initial preorder)는 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, 의 시작 원순서는 다음과 같다.

마찬가지로, 집합 원순서 집합들의 족 함수가 주어졌다고 하자. (고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 위의 끝 원순서(영어: final preorder)는 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, 의 끝 원순서

로 생성된다.

역사[편집]

1974년에 호르스트 헤를리히(독일어: Horst Herrlich, 1937~2015)가 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Garner, Richard (2014년 8월 12일). “Topological functors as total categories”. 《Theory and Applications of Categories》 (영어) 29 (15): 406–421. Bibcode:2013arXiv1310.0903G. ISSN 1201-561X. Zbl 1305.18005. arXiv:1310.0903. 
  2. Herrlich, Horst (1974년 6월). “Topological functors”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 4 (2): 125–142. doi:10.1016/0016-660X(74)90016-6. 
  3. Brümmer, G. C. L. (1984년 9월). “Topological categories”. 《Topology and its Applications》 (영어) 18 (1): 27–41. ISSN 0166-8641. doi:10.1016/0166-8641(84)90029-4. 
  4. Lowen, Robert; Sioen, Mark; Verwulgen, Stijn (2009). 〈Categorical topology〉. Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott. 《Beyond topology》. Contemporary Mathematics (영어) 486. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4279-9. MR 2521941. doi:10.1090/conm/486/9506. 
  5. Lowen, Robert (1997). 《Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0. MR 472024. Zbl 0891.54001. 

외부 링크[편집]