범주론에서 올범주(-範疇, 미국 영어: fibered category, 영국 영어: fibred category, 프랑스어: catégorie fibrée) 또는 그로텐디크 올뭉치(영어: Grothendieck fibration)는 어떤 유일 올림 성질을 만족시켜서 올뭉치와 같은 성질을 보이는 함자이다.[1] 내림 데이터나 스택을 정의할 때 쓰인다.
올범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
- 한 정의는 보다 개념적으로 명확하며, 준층의 정의의 직접적 일반화이다. 그러나 이는 올범주의 개념을 응용하기에 불필요한 추가 데이터(“쪼갬”)를 담고 있다.
- 다른 정의는 보다 기술적으로 용이하며, 불필요한 데이터를 담고 있지 않지만, 개념적으로 명확하지 않다.
이 두 정의 사이의 차이는 “쪼갬”이라는 데이터에 해당한다. 즉, 둘째 정의에 쪼갬의 데이터를 추가하면, 이는 첫째 정의와 동치이다.
위상 공간
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
위의 쪼갬을 갖춘 올범주
는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
의 각 열린집합
에 대하여, 범주 ![{\displaystyle \Pi (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d18eae93065002833189de577592276c10708af)
- 두 열린집합
에 대하여, 함자
. 이를 제한 함자(영어: restriction functor)라고 한다.
- 세 열린집합
에 대하여, 함자
와
사이의 자연 동형 ![{\displaystyle \tau _{U,V,W}\colon \operatorname {res} _{U}^{V}\circ \operatorname {res} _{V}^{W}\Rightarrow \operatorname {res} _{U}^{W}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5c326bc3fa987038e31ec9739200a3b832d535)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의 네 열린집합
에 대하여, ![{\displaystyle \tau _{U,V,X}\circ \tau _{V,W,X}=\tau _{U,W,X}\circ \tau _{U,V,W}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a837cc060087d17a0d3e866c2717c83c2263b3)
보다 일반적으로, 임의의 범주
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
위의 쪼갬을 갖춘 올범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
의 대상
에 대하여, 범주 ![{\displaystyle \Pi (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d18eae93065002833189de577592276c10708af)
- 두 대상 사이의 사상
에 대하여, 함자
. 이를 제한 함자(영어: restriction functor)라고 한다.
- 두 사상
에 대하여, 함자
와
사이의 자연 동형 ![{\displaystyle \tau _{i,j}\colon \operatorname {res} _{i}\circ \operatorname {res} _{j}\Rightarrow \operatorname {res} _{j\circ i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58ba54c10128026b75fb30d19321d13a80b2af1)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의 세 사상
에 대하여, ![{\displaystyle \tau _{i,k\circ j}\circ \tau _{j,k}=\tau _{j\circ i,k}\circ \tau _{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cbdde08bc1ef7fdf022a9eae02cd2438b9d5f3b)
함자
가 주어졌다고 하자.
의 사상
가 다음 보편 성질을 만족시킨다면,
를 데카르트 사상(Descartes寫像, 영어: Cartesian morphism, 프랑스어: morphisme cartésien)이라고 한다.
- 임의의
- 사상
![{\displaystyle f'\colon X'\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2bc5f0a4c624567aab3ac658d2ac363f25c9960)
![{\displaystyle {\hat {g}}\colon \Pi (X')\to \Pi (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8877caacc5fb79d73745116276f1a43b5921547d)
- 에 대하여, 만약
라면,
이며
인 사상
가 유일하게 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f}{\to }}&\Pi Y\end{matrix}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee09ec3304f69ae43387292f57b71ea1d89b334)
함자
가 다음 조건을 만족시킨다면, 올범주(영어: fibered category)라고 한다.
- 대상
및
속의 임의의 사상
에 대하여,
이며
인 대상
및 데카르트 사상
가 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline \exists X{\overset {\exists f}{\to }}Y&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\hat {X}}{\overset {\hat {f}}{\to }}\Pi Y\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6074adac7665404fb9cd5d378d97765c71f28af3)
이 경우,
를
의
에서의 데카르트 올림(영어: Cartesian lift)이라고 한다. 데카르트 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.
올범주의 쪼갬(영어: cleavage, 프랑스어: clivage)은 각
에 대하여 한 올림을 고르되, 만약
가 항등 사상일 때 항등 사상을 고른 것이다. 이는 선택 공리에 대하여 항상 존재한다. 이에 따라,
의 각 사상
에 대하여 함자
가 정의된다.
올범주
의, 대상
위의 올(미국 영어: fiber, 영국 영어: fibre, 프랑스어: fibre)
은
의 원상과 그 사이의 사상들로 구성된,
의 부분 범주이다.
같은 밑범주를 갖는 두 올범주
,
사이의 사상은 다음 두 조건을 만족시키는 함자
이다.
- 조각 범주
의 사상이다. 즉, 다음과 같은 함자 가환 그림이 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {E}}'\\&{\scriptstyle \Pi }\searrow &\downarrow \scriptstyle \Pi '\\&&{\mathcal {B}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afde7f09546ac41a14165fee133557c347a69709)
- 데카르트 사상의 상은 항상 데카르트 사상이다.
위의 (작은) 올범주와 올범주 사상의 범주를
라고 한다.
두 올범주의 합성은 역시 올범주를 이룬다.
작은 범주의 범주
에서, 다음과 같은 당김이 주어졌다고 하자.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}\times _{\mathcal {B}}{\mathcal {D}}&{\overset {\Pi '}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\mathcal {C}}&{\underset {\Pi }{\to }}&{\mathcal {B}}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea1bb08411fa355c7f4d0f10f3a2dd9d099c3a4)
만약
가 올범주라면
역시 올범주이다. 즉, 올범주성은 당김에 대하여 안정적이다.
올범주
에서, 만약
위에 분해계
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의하자.
은
의 사상 가운데,
에 대한 상이
에 속하는 것들의 모임이다.
은
의 데카르트 사상 가운데,
에 대한 상이
에 속하는 것들의 모임이다.
그렇다면,
은
위의 분해계를 이룬다. 특히,
가 동형 사상의 모임이며,
이 모든 사상의 모임이라고 하자. 이는 자명하게 분해계를 이루며, 이 경우
은 모든 데카르트 사상의 모임이며
은 동형 사상의 원상의 모임이다. 따라서 (동형 사상의 원상, 데카르트 사상)은 올범주의 분해계를 이룬다.
모든 올이 준군을 이루는 올범주를 준군 올범주(準群-範疇, 미국 영어: category fibered in groupoids, 영국 영어: category fibred in groupoids, 프랑스어: catégorie fibrée en groupoïdes)라고 한다. 모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주를 이산 올범주(영어: discretely fibred category)라고 한다.
두 범주
,
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 곱범주
에서
(또는
)로 사영하는 함자
![{\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7070e4c77b7fc4861577b8d56a09e490ddaff74a)
![{\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1450f3f6cc831412ae8858d3baba0f1b9e60baf0)
는 올범주를 이룬다.
범주
속의 대상
에 대한 조각 범주
를 생각하자. 그렇다면, 사상을 그 정의역으로 대응시키는 망각 함자
![{\displaystyle {\mathcal {C}}/B\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2024dd07e8b6524ddbb934bbd5afaafcad1ef090)
![{\displaystyle (X{\xrightarrow {f}}B)\mapsto X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9916877c1f9bba76bf7bf5f96f7ccccda13104e7)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\&\searrow &\downarrow \\&&B\end{pmatrix}}\mapsto (X{\xrightarrow {f}}Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526cf0406be3bfa2fa94b9d3ca30f70438d5a8d2)
는 이산 올범주를 이룬다. 대상
위의 올은 사상 모임 (이산 범주)
이다.
이는 사실 표현 가능 준층
![{\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(-,B)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e0919e483785bc218ee1c14725ea47e34d61b4)
에 그로텐디크 구성을 가한 것이다.
범주
가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면,
의 화살표 범주
를 생각하자. 사상을 그 공역으로 대응시키는 함자
![{\displaystyle \operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}^{\to }\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e72f3c55bba949d12563924f1d8c8382ee4a3d2)
![{\displaystyle \operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon (A{\overset {f}{\to }}B)\mapsto B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e885cd0dff449dfe7a8b6ce6bd84b97660ad9fef)
![{\displaystyle \operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon \left({\begin{matrix}A&{\overset {f}{\to }}&B\\{\scriptstyle h}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle k\\C&{\underset {g}{\to }}&D\end{matrix}}\right)\mapsto (B{\overset {k}{\to }}D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a37b40b2f0b62d9c4d696180873152eb45dd2cb)
를 생각하자. 이는 올범주를 이루며,[1]:Example 3.15 사상
의,
(
)에서의 올림은 다음과 같은 (
에서
로 가는
의 사상으로 간주한) 당김이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}A\times _{B}C&\to &C\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle g\\A&{\underset {f}{\to }}&B\end{matrix}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5898595323d8e737a265cff9fcbae94f4b416886)
작은 범주의 범주
로 가는 함자
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b93403fdb2d7c30b053e1f4d14de908aa86d9b)
가 주어졌을 때,
위의 그로텐디크 구성(영어: Grothendieck construction)
를 다음과 같이 정의하자.
의 대상
은
의 대상
와
의 대상
의 순서쌍이다.
의 사상
은
의 사상
과
의 사상
의 순서쌍이다.
그렇다면,
는
위의 올범주를 이룬다.
위의 올은 작은 범주
이다.
범주
를 다음과 같이 정의하자.
의 대상
은 가환환
와 그 위의 가군
의 순서쌍이다.
의 사상
은 환 준동형
과
-가군 준동형
의 순서쌍이다.
그렇다면,
는 가환환 범주
위의 올범주를 이룬다. 가환환
위의 올은
-가군들의 범주
이다.
이는 가환환을 가군 아벨 범주로 대응시키는 함자
![{\displaystyle M\colon \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689c77d2115147ff9352abe1f7442d81026b2abf)
![{\displaystyle M\colon R\mapsto \operatorname {Mod} _{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64723b8ef5c192187528cfd5e14d91dc234c706)
![{\displaystyle M\colon (f\colon R\to S)\mapsto (f^{*}\colon \operatorname {Mod} _{S}\to \operatorname {Mod} _{R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8a4451a7b32c4812bb9332d1b3bd6a01613d5f)
에 대한 그로텐디크 구성이다. 즉, 이 올범주의 올은
이다.
범주
를 다음과 같이 정의하자.
의 대상
는 스킴
와 그 위의 준연접층
의 순서쌍이다.
의 사상
는 스킴 사상
과 층 사상
의 순서쌍이다.
그렇다면, 스킴의 범주로 가는 망각 함자
는 올범주를 이룬다.[1]:53–55, §3.2.1 이는 스킴을 준연접층 아벨 범주로 대응시키는 함자
![{\displaystyle \operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a6c13ee227889bf5334a82b157fd0a2c1e3cda)
![{\displaystyle X\mapsto \operatorname {QCoh} _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312b635e6fc5c5ed0f4b9095d03b79f3f2b3d60e)
에 대한 그로텐디크 구성이다. 이 경우, 임의의 두 스킴 사상
에 대하여, 자연 동형
![{\displaystyle f^{*}\circ g^{*}\Rightarrow (g\circ f)^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d49312924bb36aacdaa8829ddad255c5458f277)
이 존재한다.
(만약
위에 fpqc 위상을 부여한다면, 이는 스택을 이룬다.)
모든 집합은 작은 이산 범주(모든 사상이 항등 사상인 범주)로 생각할 수 있다.
집합의 범주
로 가는 함자
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96b1c58e9491bb3358990824ecc22533d8457f0)
가 주어졌을 때,
위의 원소 범주(영어: category of elements)
를 다음과 같이 정의하자.
의 대상
은
의 대상
와
의 원소
의 순서쌍이다.
의 사상
은
을 만족시키는
의 사상
이다.
그렇다면,
는
위의 이산 올범주를 이룬다.
위의 올은 (이산 범주로 간주한) 집합
이다.
원소 범주 구성은 함자
의 치역이 모두 작은 이산 범주일 때의, 그로텐디크 구성의 특수한 경우이다.
모든 부분 순서 집합은 작은 얇은 범주로 생각할 수 있다.
모든 당김을 갖는 작은 범주
에 대하여, 부분 순서 집합의 범주
로 가는 다음과 같은 함자를 생각하자.
![{\displaystyle \operatorname {Sub} \colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Poset} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a53ec15f6af5da501ea931577d426546bfc79f)
![{\displaystyle \operatorname {Sub} \colon X\mapsto \operatorname {Sub} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5fd12f890b617205b0e15070e9ecb547e466fd)
![{\displaystyle \operatorname {Sub} \colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^{*}\colon \operatorname {Sub} (Y)\to \operatorname {Sub} (X)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67837a7f0922a9489c68a08060df036e9db617bc)
여기서
는
의 부분 대상들의 부분 순서 집합이며,
은 단사 사상의 당김이다 (단사 사상은 당김에 의하여 보존된다). 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가할 수 있으며, 이를 부분 대상 올범주
라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
의 대상
은
의 대상
와 그 부분 대상
의 순서쌍이다.
의 사상
은
을 만족시키는
-사상
이다.
이는
위의 올범주를 이루며,
위의 올은
이다.
모든 위상 함자는 정의에 따라 올범주를 이룬다. 이 개념은 사상을 "원천"이라는 도형으로 일반화하여 얻으며, 이 경우 데카르트 사상은 "시작 원천"이라는 개념으로 일반화된다.
올다발의 범주
을 생각하자. 그 대상은 올다발
이며, 그 사상은 다발 사상
![{\displaystyle {\begin{matrix}E&{\overset {f}{\to }}&E'\\{\scriptstyle \!\!\!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!\!\!}&&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi '\!\!\!\!}\\B&{\underset {g}{\to }}&B'\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded3c0d431ad6d13b3aa62f609b68ec6f729cbaa)
이다. 이 경우, 밑공간으로 가는 망각 함자
![{\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Bun} \to \operatorname {Top} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c261ddac5f4a65573984b74b2b46b99dffbbc0f2)
![{\displaystyle \operatorname {codom} \colon (E\,{\xrightarrow {\pi }}\,B)\mapsto B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd78d845657192b0b2f6a048c0d52530ff8a26f5)
![{\displaystyle \operatorname {codom} \colon \left({\begin{smallmatrix}E&{\overset {f}{\to }}&E'\\{\scriptstyle \!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!}&&{\scriptstyle \!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi '\!\!}\\B&{\underset {g}{\to }}&B'\end{smallmatrix}}\right)\mapsto g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15dbbeaadaf904ad9b9444dcb99f48f0549aef02)
는 올범주이다. 위상 공간
위의 올은
위의 올다발과, 밑공간에 대하여 항등 함수인 올다발 사상의 범주
이다.
이 함자의 쪼갬은 사상
에 대하여 올다발의 당김 함자
를 고르는 것에 대응한다.
마찬가지로, 벡터 다발의 범주
역시 위상 공간의 범주 위의 올범주
![{\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Vect} \to \operatorname {Top} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aec389b92e3695140863c50734154a0898400e8)
를 이룬다.
모든 위상 공간의 범주 대신, 한 위상 공간
의 열린집합들의 범주
를 생각하자. 그렇다면 마찬가지로
의 열린집합에 정의된 올다발 또는 벡터 다발의 범주의 망각 함자
![{\displaystyle \operatorname {Bun} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cee16c3ef5e7e526d32b48521734f5cda73f931)
![{\displaystyle \operatorname {Vect} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275c139ce0ebe2c7f87048e6853bb55a53075207)
역시 올범주를 이룬다.
(이 함자에서, 밑범주를 위상 공간의 범주 또는 주어진 위상 공간의 열린집합의 범주 대신 다양체의 범주로 잡으면, 이는 더 이상 올범주가 아니다. 이는 다양체의 범주에서는 올곱이 존재하지 않기 때문이다.)
범주
가 다음과 같다고 하자.
- 그 대상은 순서쌍
이다. 여기서
는 위상 공간이며
는 그 위의 (집합 값의) 층이다.
- 그 사상
은 연속 함수
와 층 사상
로 주어진다. 만약 층을 에탈레 공간으로 생각할 경우, 이는 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {F}}&{\overset {f}{\to }}&{\mathcal {G}}\\{\scriptstyle \!\!\!\!\pi _{\mathcal {F}}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!\!\!}&&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi _{\mathcal {G}}\!\!\!\!}\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beeb69768a86021f6808b6888e9eb505198f75e7)
즉, 에탈레 공간 구성에 따라서
는 화살표 범주
의 부분 범주로 여길 수 있다.
그렇다면, 위상 공간으로 가는 망각 함자는 올범주를 이룬다. 이 경우 위상 공간
위의 올은
위의 층들의 범주
이다.
마찬가지로, 임의의 위상 공간
에 대하여, 그 열린집합의 범주
및 열린집합에 정의된 층의 범주
를 생각할 수 있다. 그렇다면 망각 함자
역시 올범주이다.
위 정의에서, 집합 값의 층 대신 군이나 아벨 군이나 환이나 가환환 (또는 일반적으로 대수 구조 다양체) 값의 층을 사용하여도 마찬가지다.
올범주는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권 (SGA1) 6장[2]:164–165, Définition 6.1에서 도입되었다. 원래 SGA1에서는 "데카르트 사상"을 위의 정의보다 더 약하게 정의하였지만,[2]:161, Définition 5.1 이후 더 강한 조건을 만족시키는 정의가 더 널리 쓰이게 되었다. (올범주의 정의는 데카르트 사상의 두 정의에 상관없이 동치이다.)