내림 데이터

범주론에서 내림 데이터(-data, 영어: descent datum, 프랑스어: donnée de descente)는 어떤 올범주의 밑범주 속의 대상의 덮개 위에 주어진, 각 덮개 원소 위의 올범주의 대상들로 구성된 구조이다. 이를 사용하여, 일부 경우 밑범주 속의 대상의 올범주의 한 원소를 유일하게 재구성할 수 있다. 어떤 경우 이러한 재구성이 가능한지를 연구하는 수학 분야를 내림 이론(영어: descent theory, 프랑스어: théorie de la descente)이라고 한다.

정의

체를 통한 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 작은 범주 ${\mathcal {C}}$
• ${\mathcal {C}}$ 위의 올범주 $\Pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}$
• ${\mathcal {C}}$ 속의 대상 $U\in {\mathcal {C}}$
• $U$ 위의 체 $S\subseteq \hom _{\mathcal {C}}(-,U)$

그렇다면, $S$는 함자

${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

$X\mapsto S(X)$

$\left(X{\xrightarrow {f}}Y\right)\mapsto \left(S(Y){\xrightarrow {f^{*}}}S(X)\right)$

로 생각할 수 있다. 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가하여 올범주

$\Pi _{S}\colon \operatorname {Elem} (S)\to {\mathcal {C}}$

를 정의할 수 있다. 여기서 $\operatorname {Elem} (S)$의 대상 $(X,\iota )$는 $X\in {\mathcal {C}}$ 및 $(\iota \colon X\to U)\in S(X)$로 구성된다. 즉, $X$ 위의 올은 $S(X)$이다.

$S$ 위의 내림 데이터는 ${\mathcal {C}}$-올범주의 사상

$F\colon \operatorname {Elem} (S)/{\mathcal {C}}\to {\mathcal {F}}/{\mathcal {C}}$

이다. 즉, 가환 그림

${\begin{matrix}\operatorname {Elem} (S)&\to &{\mathcal {F}}\\&\searrow &\downarrow \\&&{\mathcal {C}}\end{matrix}}$

을 이루며, 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 대응시키는 함자이다.

구체적 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위치 ${\mathcal {C}}$
• ${\mathcal {C}}$ 위의 올범주 $\Pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}$
• ${\mathcal {C}}$의 대상 $U\in {\mathcal {C}}$
• $U$의 덮개체 $\{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}$

그렇다면, $S$ 위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $i\in I$에 대하여, 대상 $F_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})$
• 임의의 사상 $u\colon U_{i}\to U_{j}$에 대하여 ($\iota _{j}\circ u=\iota _{i}$), $\Pi (\phi _{u})=u$인 데카르트 사상 $\phi _{u}\colon F_{i}\to F_{j}$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• $u=\operatorname {id} _{U_{i}}$일 때, $\phi _{\operatorname {id} _{U_{i}}}=\operatorname {id} _{F_{i}}$
• 임의의 $U_{i}{\xrightarrow {u}}U_{j}{\xrightarrow {v}}U_{k}$에 대하여 ($\iota _{j}\circ u=\iota _{i}$, $\iota _{k}\circ v=\iota _{j}$), $\phi _{v\circ u}=\phi _{v}\circ \phi _{u}$

만약 올범주 ${\mathcal {F}}/{\mathcal {C}}$의 쪼갬이 주어졌다면, 쪼갬에 의하여 주어진 표준적 올림 $u^{*}F_{j}\to F_{j}$이 주어지며, 이 경우 (데카르트 사상의 보편 성질에 의하여) $\phi _{u}$는 (유일하게 결정되는) 동형 사상 $F_{i}\to u^{*}F_{j}$으로 생각해도 된다. 그러나 내림 데이터의 개념은 선택한 쪼갬에 의존하지 않는다.

덮개를 통한 정의

체를 사용한 정의는 체를 생성하는 사상 집합 $\{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}$에 대하여 적용되도록 번역할 수 있다. 즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 모든 당김을 갖는 작은 범주 ${\mathcal {C}}$
• ${\mathcal {C}}$ 위의 올범주 $\Pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}$
• ${\mathcal {C}}$의 대상 $U\in {\mathcal {C}}$
• $U$를 공역으로 하는 사상들의 집합 $\{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}$.

그렇다면, $S$ 위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $i\in I$ 및 사상 $f\colon X\to U_{i}$에 대하여, 대상 $F_{i,f}\in {\mathcal {F}}(X)$
• 각 가환 오각형 ${\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&U_{i}&{\overset {\iota _{i}}{\to }}&U\\\scriptstyle u\downarrow &&&&\|\\X'&{\underset {f'}{\to }}&U_{j}&{\underset {\iota _{j}}{\to }}&U\end{matrix}}$에 대하여, $\Pi (F_{i,f,u,j,f'})=u$인 데카르트 사상 $\phi _{i,f,u,j,f'}\colon F_{i,f}\to F_{j,f'}$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• $f\colon X\to U_{i}$에 대하여, $\phi _{i,f\operatorname {id} _{X},i,f}=\operatorname {id} _{F_{i}}$
• 임의의 당김 ${\begin{matrix}U_{i}\times _{U}U_{j}&\to &U_{i}\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \iota _{i}\\U_{j}&{\underset {\iota _{j}}{\to }}&U\end{matrix}}$에 대하여, $F_{i,\operatorname {proj} _{U_{i}}}=F_{j,\operatorname {proj} _{U_{j}}}$
• 임의의 가환 그림 ${\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&U_{i}&{\overset {\iota _{i}}{\to }}&U\\\scriptstyle u\downarrow &&&&\|\\X'&{\underset {f'}{\to }}&U_{j}&{\underset {\iota _{j}}{\to }}&U\\\scriptstyle v\downarrow &&&&\|\\X''&{\underset {f''}{\to }}&U_{k}&{\underset {\iota _{k}}{\to }}&U\end{matrix}}$에 대하여, $\phi _{j,f',v,k,f''}\circ \phi _{i,f,u,j,f'}=\phi _{k,f'',v\circ u,i,f}$

올범주 ${\mathcal {F}}/{\mathcal {C}}$의 정규 쪼갬이 주어졌다고 하자. 즉, 각 $F\in {\mathcal {F}}$ 및 $f\in \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})$에 대하여 올림

$f^{*}X{\xrightarrow {\phi _{f,X}}}X$

가 주어졌고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이라고 하자. 또한, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 각 $i\in I$에 대하여, 대상 $F_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})$
• 각 $i,j\in I$ 및 당김 $U_{i}{\xleftarrow {\operatorname {proj} _{U_{i}}}}U_{i}\times _{U}U_{j}{\xrightarrow {\operatorname {proj} _{U_{j}}}}U_{j}$에 대하여, 동형 사상 $\phi _{ij}\colon \operatorname {proj} _{U_{j}}^{*}F_{j}\to \operatorname {proj} _{U_{i}}^{*}F_{i}$

이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• 모든 $i\in I$에 대하여 $\phi _{i,i}=\operatorname {id}$이며, $\phi _{i,j}\circ \phi _{j,i}=\operatorname {id}$이다.
• (공사슬 조건 영어: cocycle condition) 모든 $i,j,k\in I$에 대하여, $\operatorname {proj} _{13}^{*}\phi _{i,k}=\operatorname {proj} _{12}^{*}\phi _{i,j}\circ \operatorname {proj} _{23}^{*}\phi _{j,k}\colon \operatorname {proj} _{3}^{*}F_{i}\to \operatorname {proj} _{1}^{*}F_{k}$. 여기서 $\operatorname {proj} _{(-)}$는 $U_{i}\times _{U}U_{j}\times _{U}U_{k}$의 각종 사영 사상이다.

그렇다면, 임의의 사상 $f\colon X\to U_{i}$에 대하여 $F_{i,f}=\operatorname {dom} f^{*}F_{i}$인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 또한, 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동형이다. 즉, 위와 같이, 쪼갬과 공사슬 조건을 통해 정의한 내림 데이터의 범주는 체를 통하여 정의한 내림 데이터의 범주와 동치이다.

효과적 내림

올범주 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$ 및 ${\mathcal {B}}$ 위의 그로텐디크 위상 및 대상 $U\in {\mathcal {B}}$ 및 그 덮개 $\{U_{i}\to U\}_{i\in I}$에 대하여, 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.

• $U$ 위의 올 ${\mathcal {E}}(U)$
• 덮개 $\{U_{i}\to U\}_{i\in I}$에 대한 내림 데이터의 범주 $\operatorname {Desc} (\{U_{i}\to U\}_{i\in I})$

또한, $\Pi$ 위의 쪼갬이 주어졌다면, 자연스러운 함자

${\mathcal {E}}(U)\to \operatorname {Desc} (\{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I})$

가 존재한다. 이 함자는 $F\in {\mathcal {E}}(U)$에 대하여, $F_{i}$에 대하여

$F_{i}=\iota _{i}^{*}F$

를 대응시킨다.

만약 이 함자 ${\mathcal {E}}(U)\to \operatorname {Desc} (\{\iota _{i}\}_{i\in I})$ 가 충실충만한 함자라면, 덮개 $\{\iota _{i}\}_{i\in I}$가 충실충만한 내림(充實充滿-, 영어: fully faithful descent)을 보인다고 한다. 만약 이 함자가 범주의 동치라면, 덮개 $\{\iota _{i}\}_{i\in I}$가 효과적 내림(效果的-, 영어: effective descent)을 보인다고 한다. 충실충만한 내림의 경우, 특정 내림 데이터로부터 ${\mathcal {E}}(U)$ 속의 올을 재구성할 수 있으며, 효과적 내림의 경우 모든 내림 데이터로부터 이러한 올을 재구성할 수 있다. (이 조건들은 올범주의 쪼갬의 손택에 의존하지 않는다.)

올범주 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$ 및 ${\mathcal {B}}$ 위의 그로텐디크 위상에 대하여,

• 만약 ${\mathcal {B}}$ 위의 모든 덮개에 대하여 충실충만한 내림이 성립한다면, $\Pi$를 준스택(영어: prestack)이라고 한다.
• 만약 ${\mathcal {B}}$ 위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면, $\Pi$를 스택(영어: stack)이라고 한다.

예

연속 함수

위상 공간의 범주의 화살표 범주 $\operatorname {Top} ^{\to }$를 생각하자. 연속 함수를 그 공역으로 대응시키는 함자

$\operatorname {cod} \colon \operatorname {Top} ^{\to }\to \operatorname {Top}$

에 의하여, 이는 올범주를 이루며, $X$ 위의 올은 조각 범주 $\operatorname {Top} /X$이다.

이 경우, 위상 공간의 통상적인 그로텐디크 위상에서, 덮개는 (위상수학의) 열린 덮개이며, 모든 열린 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다. 즉, $\operatorname {Top} ^{\to }$은 $\operatorname {Top}$ 위의 스택을 이룬다.

준연접층

준연접층 $\operatorname {QCoh} (-)$는 스킴의 범주 $\operatorname {Sch}$ 위의 올범주를 이룬다. $\operatorname {Sch}$ 위의, fpqc 위상에서의 모든 덮개에 대하여 유효 내림이 성립한다. 따라서, $\operatorname {QCoh}$는 (fpqc 위상을 부여한) $\operatorname {Sch}$ 위의 스택을 이룬다. fpqc 위상은 매우 섬세하며, 이보다 더 엉성한 위상 (에탈 위상, 자리스키 위상) 등에서도 따라서 효과적 내림이 성립한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 $S\in \operatorname {Sch}$에 대하여, $\operatorname {QCoh} (-)$는 조각 범주 $\operatorname {Sch} /S$ 위의 올범주를 이루며, fpqc 위상을 부여한다면 이 역시 스택을 이룬다.

역사

내림 이론 및 내림 데이터는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권에서 도입되었다.

참고 문헌

• Brochard, Sylvain (2012). “Topologies de Grothendieck, descente, quotients” (프랑스어). arXiv:1210.0431. Bibcode:2012arXiv1210.0431B. 
• Vistoli, Angelo (2007년 5월 17일). “Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory” (영어). arXiv:math/0412512. Bibcode:2004math.....12512V. 

외부 링크

• “Form of an (algebraic) structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Category of descent data”. 《nLab》 (영어). 
• “Descent”. 《nLab》 (영어). 
• “Descent morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Descent object”. 《nLab》 (영어). 
• “descent of affine schemes”. 《nLab》 (영어). 
• “Cohomological descent”. 《nLab》 (영어). 
• “Monadic descent”. 《nLab》 (영어). 
  • “Higher monadic descent”. 《nLab》 (영어). 
  • “Descent in noncommutative algebraic geometry”. 《nLab》 (영어). 
• Beardsley, Jon (2013년 11월 27일). “Thoughts on descent”. 《Chromotopy》 (영어). 2015년 3월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 2월 20일에 확인함. 
• “What is descent theory?” (영어). Math Overflow. 
• “What is descent data of higher categories, conceptually?” (영어). Math Overflow.