올범주

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범주론에서, 올범주(-範疇, 미국 영어: fibered category, 영국 영어: fibred category, 프랑스어: catégorie fibrée) 또는 그로텐디크 올뭉치(영어: Grothendieck fibration)는 어떤 유일 올림 성질을 만족시켜서 올뭉치와 같은 성질을 보이는 함자이다. 내림 데이터스택을 정의할 때 쓰인다.

정의[편집]

데카르트 사상[편집]

함자 가 주어졌다고 하자. 의 사상 가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, 데카르트 사상(Descartes寫像, 영어: Cartesian morphism, 프랑스어: morphisme cartésien)이라고 한다.

임의의
  • 사상
에 대하여, 만약 라면, 이며 인 사상 가 유일하게 존재한다.

올범주[편집]

함자 가 다음 조건을 만족시킨다면, 올범주(영어: fibered category)라고 한다.

  • 대상 속의 임의의 사상 에 대하여, 이며 인 대상 및 데카르트 사상 가 존재한다.

이 경우, 에서의 데카르트 올림(영어: Cartesian lift)이라고 한다. 데카르트 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

올범주의 쪼갬(영어: cleavage, 프랑스어: clivage)은 각 에 대하여 한 올림을 고른 것이다. 이는 선택 공리에 대하여 항상 존재한다.

올범주 의, 대상 위의 (미국 영어: fiber, 영국 영어: fibre, 프랑스어: fibre) 원상과 그 사이의 사상들로 구성된, 부분 범주이다.

올범주 사상[편집]

같은 밑범주를 갖는 두 올범주 , 사이의 사상은 다음 두 조건을 만족시키는 함자 이다.

  • 조각 범주 의 사상이다. 즉, 다음과 같은 함자 가환 그림이 성립한다.
  • 데카르트 사상의 은 항상 데카르트 사상이다.

위의 (작은) 올범주와 올범주 사상의 범주를 라고 한다.

성질[편집]

합성[편집]

두 올범주의 합성은 역시 올범주를 이룬다.

작은 범주의 범주 에서, 다음과 같은 당김이 주어졌다고 하자.

만약 가 올범주라면 역시 올범주이다. 즉, 올범주성은 당김에 대하여 안정적이다.

분해계[편집]

올범주 에서, 만약 위에 분해계 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의하자.

  • 의 사상 가운데, 에 대한 상이 에 속하는 것들의 모임이다.
  • 의 데카르트 사상 가운데, 에 대한 상이 에 속하는 것들의 모임이다.

그렇다면, 위의 분해계를 이룬다. 특히, 동형 사상의 모임이며, 이 모든 사상의 모임이라고 하자. 이는 자명하게 분해계를 이루며, 이 경우 은 모든 데카르트 사상의 모임이며 은 동형 사상의 원상의 모임이다. 따라서 (동형 사상의 원상, 데카르트 사상)은 올범주의 분해계를 이룬다.

종류[편집]

모든 올이 준군을 이루는 올범주를 준군 올범주(準群-範疇, 미국 영어: category fibered in groupoids, 영국 영어: category fibred in groupoids, 프랑스어: catégorie fibrée en groupoïdes)라고 한다. 모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주를 이산 올범주(영어: discretely fibred category)라고 한다.

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곱 올범주[편집]

두 범주 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 곱범주 에서 (또는 )로 사영하는 함자

는 올범주를 이룬다.

조각 범주[편집]

범주 속의 대상 에 대한 조각 범주 를 생각하자. 그렇다면, 사상을 그 정의역으로 대응시키는 망각 함자

는 이산 올범주를 이룬다. 대상 위의 올은 사상 모임 (이산 범주) 이다.

이는 사실 표현 가능 준층

에 그로텐디크 구성을 가한 것이다.

공역 올범주[편집]

범주 가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, 화살표 범주 를 생각하자. 사상을 그 공역으로 대응시키는 함자

를 생각하자. 이는 올범주를 이루며, 사상 의, ()에서의 올림은 다음과 같은 (에서 로 가는 의 사상으로 간주한) 당김이다.

그로텐디크 구성[편집]

작은 범주의 범주 로 가는 함자

가 주어졌을 때, 위의 그로텐디크 구성(영어: Grothendieck construction) 를 다음과 같이 정의하자.

  • 의 대상 의 대상 의 대상 의 순서쌍이다.
  • 의 사상 의 사상 의 사상 순서쌍이다.

그렇다면, 위의 올범주를 이룬다. 위의 올은 작은 범주 이다.

가군 범주[편집]

범주 를 다음과 같이 정의하자.

  • 의 대상 가환환 와 그 위의 가군 순서쌍이다.
  • 의 사상 환 준동형 -가군 준동형 순서쌍이다.

그렇다면, 가환환 범주 위의 올범주를 이룬다. 가환환 위의 올은 -가군들의 범주 이다.

이는 가환환을 가군 범주로 대응시키는 함자

에 대한 그로텐디크 구성이다.

원소 범주[편집]

모든 집합은 작은 이산 범주(모든 사상이 항등 사상인 범주)로 생각할 수 있다.

집합의 범주 로 가는 함자

가 주어졌을 때, 위의 원소 범주(영어: category of elements) 를 다음과 같이 정의하자.

  • 의 대상 의 대상 의 원소 의 순서쌍이다.
  • 의 사상 을 만족시키는 의 사상 이다.

그렇다면, 위의 이산 올범주를 이룬다. 위의 올은 (이산 범주로 간주한) 집합 이다.

원소 범주 구성은 함자 치역이 모두 작은 이산 범주일 때의, 그로텐디크 구성의 특수한 경우이다.

부분 대상 범주[편집]

모든 부분 순서 집합작은 얇은 범주로 생각할 수 있다.

모든 당김을 갖는 작은 범주 에 대하여, 부분 순서 집합의 범주 로 가는 다음과 같은 함자를 생각하자.

여기서 부분 대상들의 부분 순서 집합이며, 단사 사상당김이다 (단사 사상은 당김에 의하여 보존된다). 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가할 수 있으며, 이를 부분 대상 올범주 라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

  • 의 대상 의 대상 와 그 부분 대상 순서쌍이다.
  • 의 사상 을 만족시키는 -사상 이다.

이는 위의 올범주를 이루며, 위의 올은 이다.

위상 함자[편집]

모든 위상 함자는 정의에 따라 올범주를 이룬다. 이 개념은 사상을 "원천"이라는 도형으로 일반화하여 얻으며, 이 경우 데카르트 사상은 "시작 원천"이라는 개념으로 일반화된다.

역사[편집]

올범주는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권 (SGA1) 6장[1]:164–165, Définition 6.1에서 도입되었다. 원래 SGA1에서는 "데카르트 사상"을 위의 정의보다 더 약하게 정의하였지만,[1]:161, Définition 5.1 이후 더 강한 조건을 만족시키는 정의가 더 널리 쓰이게 되었다. (올범주의 정의는 데카르트 사상의 두 정의에 상관없이 동치이다.)

참고 문헌[편집]

  1. Grothendieck, A., 편집. (1971). 〈Exposé VI. Catégories fibrées et descente〉. 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 224. Springer. 145–194쪽. ISBN 978-3-540-05614-0. ISSN 0075-8434. arXiv:math/0206203. doi:10.1007/BFb0058656. 

외부 링크[편집]