범주론에서 쉼표 범주(-標範疇, 영어: comma category)는 같은 공역을 갖는 두 함자로부터 정의되고, 함자들의 공역의 사상들을 대상으로 하는 범주이다.
범주
,
,
및 함자
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e10844323b6b12c36575c96f92ddd170993516)
![{\displaystyle G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57491347f0858024ec859667315c0173f45ff1b)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 쉼표 범주
는 다음과 같은 범주이다.
의 대상은 다음과 같은 튜플
이다.
,
는 각각
또는
의 대상이다.
는
속의 사상이다.
의 사상
은 다음과 같은 순서쌍이다.
이며
이며, 또한
이다.
의 사상의 합성은
이다.
의 항등 사상은
이다.
화살표 범주[편집]
화살표 범주(영어: arrow category)는
이며
인 경우이다. 이 경우는
라고 쓰며,
의 대상은
의 사상이며,
의 사상은
의 가환 사각형들이다.
조각 범주[편집]
이 자명군에 대응하는, 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주이며,
가
의 유일한 대상을
로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 쉼표 범주
![{\displaystyle {\mathcal {C}}/X=\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\downarrow X^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443a2bd18659ea348036c917ddd0d390640feeac)
를
에 대한 조각 범주(영어: slice category)라고 한다. 반대로, 두 함자의 순서를 바꾼 쉼표 범주
![{\displaystyle X\backslash {\mathcal {C}}=X^{*}\downarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb566e81a883d5cf48bd5152266201203e62d99a)
를
에 대한 쌍대 조각 범주(영어: coslice category)라고 한다.
이 한원소 집합이라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주
는 점을 가진 집합의 범주이다. 마찬가지로,
은 점을 가진 공간의 범주이다. 이들은 대수적 위상수학에서 쓰인다.
- 대수기하학에서
는 체의 아핀 공간
에 대한 스킴들의 조각 범주이다. 보다 일반적으로, 스킴
에 대하여,
는
-스킴들의 범주이다.
- 함자
가
라고 하자. 그렇다면
는 (스스로로 가는 변을 허용하는) 유향 그래프의 범주이다. 이 경우, 대상은
의 꼴인데
는 변의 집합,
는 꼭짓점의 집합, 함수
는 각 변을 양 끝점의 순서쌍으로 대응시키는 함수이다.
- 무향 그래프의 범주를 얻으려면,
를
로 치환하면 된다.
- 시작점과 끝점이 같은 변을 허용하지 않으려면,
를
로 치환하면 된다.
이 가환환의 범주라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주
은
에 대한 가환 대수의 범주
와 동치이다.
가 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자라고 하고,
가
의 유일한 대상을 집합
로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면
의 대상은
에서 군
로 가는 함수
이며,
의 사상은 군 준동형과 일대일 대응된다. 이 경우,
의 시작 대상은
로 생성되는 자유군이다.[1]:9
역사와 어원[편집]
프랜시스 윌리엄 로비어가 1963년 박사 학위 논문에서 도입하였다.[2] 원래 쉼표 범주의 표기법이 쉼표를 사용하여
였기 때문에 ‘쉼표 범주’라고 불렸다. 오늘날 이 표기법은 더 이상 쓰이지 않지만, ‘쉼표 범주’라는 이름만은 그대로 쓰이고 있다.
외부 링크[편집]