헤론의 공식
헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 통해 넓이를 구하는 공식이다. 직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 또, 이 공식을 사용하면 높이를 따로 구할 필요가 없기 때문에, 토지의 면적을 구하는 데 편리한 공식으로써도 알려져 있다.
공식[편집]
길이가 각 인 선분으로 이루어진 삼각형이 있을 때, 면적을 라 하면,
가 성립한다. 여기서,
이다.
또 다르게 적는다면
이렇게 된다.
역사[편집]
이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재에는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.
증명[편집]
일반적인 방법[편집]
삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c라고 하면, 이 삼각형의 넓이 S는
에서, 코사인 법칙을 이용하면
- .
여기서 얻어진 의 값을 에 대입하면,
다른 방법[편집]
그림과 같이 삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c 로 하고, A로부터 BC 또는 그 연장에 내린 수선 AH의 길이를 h, 선분 CH의 길이를 x라 한다. 이때 각ACB가 둔각이면 x는 음의 값을 갖는다.
피타고라스 정리에 의해 수선 AH에 의해 나뉜 삼각형AHC에 대해 다음의 식이 성립한다.
-
- 이제 를 좌변으로 정리하면,
-
- 같은 방법으로 삼각형 AHB에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.
-
- 이제 를 소거하면 다음의 등식이 성립한다.
-
- 위의 등식을 간단히 정리하여 에 대해 정리하면 다음과 같다.
이를에 대입하면,
위의 등식을 h에 대해 정리하면,
삼각형ABC의 넓이 S는 다음과 같이 계산된다.
-
- 단,
좌표평면을 이용한 증명[편집]
- 삼각형 ABC의 세변 BC,CA,AB를 a,b,c라고 놓자.
- 그리고 오른쪽 삼각형처럼 B를 원점으로 하고 한변을 X축에 놓게 좌표평면에 그릴 수 있다. 이 때 점 C는 (Z,0) 점 A는 (X,Y)라 가정할 수 있다. 먼저 라고 할 수 있다.
- 이때
- =x
- = x
- ==
- 삼각형 ABC의 넓이는 밑변인 BC 와 높이를 가지고 구할 수 있다.
-
- 증명들 중에서는 일부 창의적인 방식을 통해 증명해 나가는 경우가 있다. 보조선을 사용하는 것이 그 예이다. 이때 좌표평면을 사용하면 어려운 증명이라도 계산만 복잡할 뿐 많은 것을 증명할 수 가 있다. 이제 한번 좌표평면으로 헤론의 공식을 증명해보아 별다른 방식 없이도 가능하다는 것을 보일 수 있었다.
일반화[편집]
헤론의 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식의 특별한 경우로 생각할 수 있다.
헤론의 공식과 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 사변형에 대한 특별한 경우이다
헤론의 공식은 브라마굽타 공식 또는 브레치나이더 공식에서 사변형의 변 중 하나를 0으로 설정하여 얻을 수 있다.
또한, 헤론의 공식을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.
사면체의 부피를 케일리-멩거 행렬식을 통해 나타낸 공식은 헤론의 공식의 일반화이다. 이를 전개한 공식은 15세기에 피에로 델라 프란체스카가 발견한 공식과 일치한다.[1][2]