수학 에서 케일리-멩거 행렬식 (-行列式, 영어 : Cayley–Menger determinant )은 단체 의 초부피를 나타내는 데 쓰이는 행렬식 이다.
음이 아닌 정수
n
{\displaystyle n}
에 대하여,
n
{\displaystyle n}
번째 케일리-멩거 행렬식
M
n
{\displaystyle M_{n}}
은 다음과 같은
(
n
+
2
)
×
(
n
+
2
)
{\displaystyle (n+2)\times (n+2)}
행렬식으로 나타낸
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}
변수 다항식이다.[1] :71
M
n
(
x
i
j
:
0
≤
i
<
j
≤
n
)
=
|
0
1
1
1
⋯
1
1
0
x
01
2
x
02
2
⋯
x
0
n
2
1
x
01
2
0
x
12
2
⋯
x
1
n
2
1
x
02
2
x
12
2
0
⋯
x
2
n
2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
x
0
n
2
x
1
n
2
x
2
n
⋯
0
|
{\displaystyle M_{n}(x_{ij}\colon 0\leq i<j\leq n)={\begin{vmatrix}0&1&1&1&\cdots &1\\1&0&x_{01}^{2}&x_{02}^{2}&\cdots &x_{0n}^{2}\\1&x_{01}^{2}&0&x_{12}^{2}&\cdots &x_{1n}^{2}\\1&x_{02}^{2}&x_{12}^{2}&0&\cdots &x_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&x_{0n}^{2}&x_{1n}^{2}&x_{2n}&\cdots &0\end{vmatrix}}}
케일리-멩거 행렬식
M
n
{\displaystyle M_{n}}
은 대칭 다항식 이다. 즉, 변수의 순열에 대하여 불변이다.
표수 가 2가 아닌 체 위에서, 케일리-멩거 행렬식
M
n
{\displaystyle M_{n}}
는
2
n
{\displaystyle 2n}
차 동차 다항식 이다.[2] :339-340
표수가 2가 아닌 체 위에서, 케일리-멩거 행렬식
M
n
{\displaystyle M_{n}}
이 기약 다항식 일 필요충분조건은
n
≠
2
{\displaystyle n\neq 2}
이다.[2] :339-340
꼭짓점
v
0
,
…
,
v
n
{\displaystyle v_{0},\dots ,v_{n}}
를 갖는
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
속
n
{\displaystyle n}
차원 단체
S
{\displaystyle S}
의
n
{\displaystyle n}
차원 초부피
Vol
n
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(S)}
는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Vol
n
(
S
)
2
=
(
−
1
)
n
+
1
2
n
(
n
!
)
2
M
n
(
‖
v
i
−
v
j
‖
:
0
≤
i
<
j
≤
n
)
{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(S)^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}(n!)^{2}}}M_{n}(\Vert v_{i}-v_{j}\Vert \colon 0\leq i<j\leq n)}
우변의 계수의
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\dots }
번째 값은 다음과 같다.
-1, 2, -16, 288, -9216, 460800, ... (OEIS 의 수열 A055546 )
아서 케일리 와 카를 멩거 의 이름을 땄다.
같이 보기 [ 편집 ]
↑ D’Andrea, C.; Sombra, M. (2005년 1월). “The Cayley-Menger determinant is irreducible for n ≥ 3”. 《Siberian Mathematical Journal》 (영어) 46 (1): 71-76. doi :10.1007/s11202-005-0007-0 . ISSN 0037-4466 .
↑ 가 나 Hajja, Mowaffaq; Hayajneh, Mostafa; Nguyen, Bach; Shaqaqha, Shadi (2018년 6월). “Irreducibility of the Cayley–Menger determinant and of a class of related polynomials”. 《Beitr Algebra Geom》 (영어) 59 (2): 327–342. doi :10.1007/s13366-017-0369-z . ISSN 0138-4821 .
외부 링크 [ 편집 ]