수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, 영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.[1][2]
(실수
차 일계수 다항식의 집합을
로 적자.)
실수
차 다항식
에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
을
차 체비쇼프 다항식이라고 한다.
- (재귀적 정의)
이며,
이며,
이다.
- (삼각 함수 정의) 항등식
가 성립한다.
은
에서 서로 다른
개 실근을 가지며,
에서 절댓값이 서로 같은
개 극값을 갖는다.
- (최소 상한 노름)
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}\max _{x\in [-1,1]}|\operatorname {T} _{n}(x)|=\min _{f\in \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}\max _{x\in [-1,1]}|f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60a3588d23424252060b74805f1780704177b0c)
드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면
가
의
차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는
, 우변의 실수부는,
와
의 다항식이다.
직교성[편집]
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간
에서 직교한다.
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26783744fdbd1c491d17772b00a85c82c5aad93)
즉, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}\operatorname {T} _{n}(x)\operatorname {T} _{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\qquad (n\neq m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bdf3f887b19a2925fd80e20ae026e08caceaa5)
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.
![{\displaystyle \operatorname {T} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {T} _{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c027931d26ff7197aaa1a006dd669072a8948c)
차 체비쇼프 다항식
은 닫힌구간
속에서
개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.
![{\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\qquad (k\in \{1,2,\dotsc ,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83de3abe2dde65aa72079bcf45be76f423eda0ba)
분지점[편집]
체비쇼프 다항식을 복소수 함수
![{\displaystyle \operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bf37d2461cc8fea327ad9e702b108bde3b8fd0)
로 여길 때,
의 경우 다음이 성립한다.
- 분지점에서의 값들은 모두
또는
이다.
- 값이
인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)
예를 들어,
![{\displaystyle \operatorname {T} _{2}(x)=2x^{2}-1=2(x-1)(x+1)+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a1773af43007de68182299c603536d19c2d3d5)
의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점
를 가지며, 그 값은
및
이다. 마찬가지로,
![{\displaystyle \operatorname {T} _{3}(x)=4x^{3}-3x=(x-1)(2x+1)^{2}+1=(x+1)(2x-1)^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075294c8aeb41bc43166ab4d6a2dc80f78e8d549)
의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점
및 분지 지표 3의 분지점
를 가지며, 그 값은 각각
및
이다.
이에 따라,
는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은
개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Chebyshev-dessins.svg/346px-Chebyshev-dessins.svg.png)
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A28297)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {T} _{0}(x)&=1\\\operatorname {T} _{1}(x)&=x\\\operatorname {T} _{2}(x)&=2x^{2}-1\\\operatorname {T} _{3}(x)&=4x^{3}-3x\\\operatorname {T} _{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\\operatorname {T} _{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\\operatorname {T} _{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\\operatorname {T} _{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\\operatorname {T} _{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\operatorname {T} _{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\\operatorname {T} _{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\\operatorname {T} _{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295d6ed20f88b327c97305744dcc5c0ff28747ff)
파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.[3]
체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (프랑스어: Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (독일어: Tschebyschow)에서 딴 것이다.
같이 보기[편집]
- ↑ Rivlin, Theodore J. (1990). 《The Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory》. Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. Wiley-Interscience. ISBN 978-047162896-5.
- ↑ Mason, J. C.; Handscomb, D. C. (2002년 9월 17일). 《Chebyshev polynomials》 (영어). Chapman and Hall/CRC. doi:10.1201/9781420036114. ISBN 978-0-8493-0355-5.
- ↑ Chebyshev, P. L. (1854). “Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes”. 《Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg》 (프랑스어) 7: 539–586.
외부 링크[편집]