에르미트 다항식

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확률론 에르미트 다항식 H_n(x)의 그래프 (n=1,\ldots,6)
물리학 에르미트 다항식 \tilde H_n(x)의 그래프 (n=1,\ldots,6)

수학에서, 에르미트 다항식(Hermite多項式, 영어: Hermite polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다.

정의[편집]

에르미트 다항식은 확률론물리학에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) 에르미트 다항식 H_n(x)은 다음과 같다.

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}=\left(x-\frac{d}{dx}\right)^n1=\exp\left(-\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)x^n

물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식 \tilde H_n(x)은 다음과 같다.

\tilde H_n(x)=2^{n/2}H_n(\sqrt2x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=\left(2x-\frac{d}{dx} \right)^n1

이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.

확률론의 에르미트 다항식들은 아펠 다항식열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의하자.

\exp(-t^2/2)=\sum_{n=0}^\infty h_nt^n/n!
h_n=\begin{cases}(-1)^{n/2}(n/2)!!&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}

여기서

n!! = \prod_{k=0}^m (n-2k) = n (n-2) (n-4) \cdots

는 이중 계승(영어: double factorial)이다. 그렇다면, 에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

H_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkh_n

이는 아펠 다항식열음계산법으로 간편하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 음변수 \mathsf h에 대하여 선형 범함수

L\colon\mathsf h^n\to h_n

를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다.

H_n(x)=L\left((x+\mathsf h)^n\right)
\tilde H_n(x)=L\left((2x+\sqrt2\mathsf h)^n\right)

즉, 구체적으로 L은 다음과 같다.

L\colon\mathbb Q[x+\mathsf h]\mapsto \mathbb Q[x]
L=\operatorname{eval}_{x+\mathsf h\mapsto x}\exp\left(-\frac{d^2}{d(x+\mathsf h)^2}\right)

L의 역범함수는 마찬가지로 다음과 같다.

L^{-1}\colon \mathbb Q[x]\mapsto\mathbb Q[x+\mathsf h]
L^{-1}=\operatorname{eval}_{x\mapsto x+\mathsf h}\exp\left(\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)

성질[편집]

직교성[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

\int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)\exp(-x^2/2)\,dx=\sqrt{2\pi}n!\delta_{mn}

여기서 \delta_{mn}크로네커 델타이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간 L^2(\mathbb R,\exp(-x^2/2))의 완비기저를 이룬다. 여기서 L^2(\mathbb R,\exp(-x^2/2))은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.

\langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^\infty\bar f(x)g(x)\exp(-x^2/2)\,dx

에르미트 미분 방정식[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 에르미트 미분 방정식(영어: Hermite differential equation)의 해를 이룬다.

\frac d{dx}\left(\exp(-x^2/2)\frac d{dx}H\right)=\lambda\exp(-x^2/2)H

여기서 \lambda는 임의의 상수이다. 즉, H는 미분 연산자

\exp(x^2/2)\frac d{dx}\exp(-x^2/2)\frac d{dx}

고유함수이다.

점화식[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 아펠 다항식열이므로, 점화식을 갖는다. 구체적으로, 선형 범함수

L^{-1}\colon H_n(x)\mapsto (x+\mathsf h)^n
L^{-1}=\operatorname{eval}_{x\mapsto x+\mathsf h}\exp\left(\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)

를 생각하자. 그렇다면 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다.

H_{n+1}(x)=\left(x-\frac d{d(d/dx)}\ln\exp\left((d/dx)^2/2\right)\right)H_n(x)=\left(x-\frac d{dx}\right)H_n(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x)

H_{n+1}(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x)
\tilde H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)

이다.

생성 함수[편집]

에르미트 다항식열의 지수 생성 함수는 다음과 같다.

\sum_{n=0}^\infty H_n(x)t^n/n!=\exp(xt-t^2/2)
\sum_{n=0}^\infty \tilde H_n(x)t^n/n!=\exp(2xt-t^2)

이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수

\sum_{n=0}^\infty h_nt^n/n!=L(t\mathsf h)=\exp(-t^2/2)

로부터 유도할 수 있다. 음계산법을 사용하면,

\sum_{n=0}^\infty H_n(x)t^n/n!=L\sum_{n=0}^\infty\exp\left(t(x+\mathsf h)\right)=\exp(xt)L\exp(t\mathsf h)=\exp(xt-t^2/2)

이다.

미분과 적분[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.

\frac d{dx}H_n(x)=nH_{n-1}(x)
\frac d{dx}\tilde H_n(x)=2nH_{n-1}(x)

에르미트 다항식은 아펠 다항식열을 이루므로, 이는 음계산법으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다.

\frac d{dx}H_n(x)=\frac d{dx}L\left((x+\mathsf h)^n\right)=L\left(\frac d{dx}(x+\mathsf h)^n\right)=L\left(n(x+\mathsf h)^{n-1}\right)=nH_{n-1}(x)

[편집]

확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A096713)

H_0(x)=1
H_1(x)=x
H_2(x)=x^2-1
H_3(x)=x^3-3x
H_4(x)=x^4-6x^2+3
H_5(x)=x^5-10x^3+15x
H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15
H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x
H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105
H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x
H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945

물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.

\tilde H_0(x)=1
\tilde H_1(x)=2x
\tilde H_2(x)=4x^2-2
\tilde H_3(x)=8x^3-12x
\tilde H_4(x)=16x^4-48x^2+12
\tilde H_5(x)=32x^5-160x^3+120x
\tilde H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120
\tilde H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x
\tilde H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680
\tilde H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x
\tilde H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240

역사[편집]

에르미트 다항식은 피에르시몽 라플라스가 1810년 정의하였다.[1] 이후 파프누티 체비쇼프가 이들을 1859년 자세히 연구하였다.[2] 샤를 에르미트는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고,[3][4] 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.

응용[편집]

에르미트 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자의 에너지 고유상태의 파동 함수에 등장한다.

참고 문헌[편집]

  1. Laplace, P. S. (1810). “Mémoire sur les intégrales définies, et leur application aux probabilités, et spécialment à la recherche du milieu qu’il faut choisir entre les résultats des observations” (PDF). 《Mémoires de la classe des sciences mathematiques et physiques de l’Institut national de France》 (프랑스어) 58: 279–347. 
  2. Chebyshev, P. L. (1859). “Sur le développement des fonctions à une seule variable”. 《Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg》 (프랑스어) 1: 193–200. 
  3. Hermite, Charles (1864). “Sur un nouveau développement en série des fonctions”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 58: 93–100. 
  4. Hermite, Charles (1864). “Sur un nouveau développement en série des fonctions”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 58: 266–273. doi:10.1017/CBO9780511702761.022. 
  • Szegő, Gábor (1955). 《Orthogonal Polynomials》 (영어) 2판. American Mathematical Society. 
  • Temme, Nico (1996). 《Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics》 (영어). New York: Wiley. 

바깥 고리[편집]