에르미트 다항식

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확률론 에르미트 다항식 의 그래프 ()
물리학 에르미트 다항식 의 그래프 ()

수학에서, 에르미트 다항식(Hermite多項式, 영어: Hermite polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다.

정의[편집]

에르미트 다항식은 확률론물리학에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) 에르미트 다항식 은 다음과 같다.

물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식 은 다음과 같다.

이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.

확률론의 에르미트 다항식들은 아펠 다항식열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의하자.

여기서

는 이중 계승(영어: double factorial)이다. 그렇다면, 에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이는 아펠 다항식열음계산법으로 간편하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 음변수 에 대하여 선형 범함수

를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다.

즉, 구체적으로 은 다음과 같다.

의 역범함수는 마찬가지로 다음과 같다.

성질[편집]

직교성[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

여기서 크로네커 델타이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간 의 완비기저를 이룬다. 여기서 은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.

에르미트 미분 방정식[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 에르미트 미분 방정식(영어: Hermite differential equation)의 해를 이룬다.

여기서 는 임의의 상수이다. 즉, 는 미분 연산자

고유함수이다.

점화식[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 아펠 다항식열이므로, 점화식을 갖는다. 구체적으로, 선형 범함수

를 생각하자. 그렇다면 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다.

이다.

생성 함수[편집]

에르미트 다항식열의 지수 생성 함수는 다음과 같다.

이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수

로부터 유도할 수 있다. 음계산법을 사용하면,

이다.

미분과 적분[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.

에르미트 다항식은 아펠 다항식열을 이루므로, 이는 음계산법으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다.

[편집]

확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A096713)

물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.

역사[편집]

에르미트 다항식은 피에르시몽 라플라스가 1810년 정의하였다.[1] 이후 파프누티 체비쇼프가 이들을 1859년 자세히 연구하였다.[2] 샤를 에르미트는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고,[3][4] 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.

응용[편집]

에르미트 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자의 에너지 고유상태의 파동 함수에 등장한다.

참고 문헌[편집]

  1. Laplace, P. S. (1810). “Mémoire sur les intégrales définies, et leur application aux probabilités, et spécialment à la recherche du milieu qu’il faut choisir entre les résultats des observations” (PDF). 《Mémoires de la classe des sciences mathematiques et physiques de l’Institut national de France》 (프랑스어) 58: 279–347. 
  2. Chebyshev, P. L. (1859). “Sur le développement des fonctions à une seule variable”. 《Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg》 (프랑스어) 1: 193–200. 
  3. Hermite, Charles (1864). “Sur un nouveau développement en série des fonctions”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 58: 93–100. 
  4. Hermite, Charles (1864). “Sur un nouveau développement en série des fonctions”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 58: 266–273. doi:10.1017/CBO9780511702761.022. 
  • Szegő, Gábor (1955). 《Orthogonal Polynomials》 (영어) 2판. American Mathematical Society. 
  • Temme, Nico (1996). 《Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics》 (영어). New York: Wiley. 

바깥 고리[편집]