삼각함수 항등식

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삼각함수 항등식(三角函數 恒等式)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.

참고로 아래에서 , 등의 함수는 와 같이 정의된다.

삼각함수의 정의에서[편집]

주기성, 대칭성, 이동(Shifts)[편집]

다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.

다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.

다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.

또한, 주기가 같지만, (phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.

여기서

피타고라스 정리[편집]

덧셈 정리[편집]

다음을 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.

(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함.)

여기서

두배각 공식[편집]

다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 로 놓아도 된다.

세배각 공식[편집]

아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.

네배각 공식[편집]

아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.

다섯배각 공식[편집]

여섯배각 공식[편집]

n배각 공식[편집]

번째 체비쇼프 다항식일 때,

드무아브르의 공식:

디리클레 핵 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :

디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.

차수 줄이기[편집]

n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.

이차식 공식[편집]

두배각 공식의 코사인 공식을 으로 푼다.

삼차식 공식[편집]

사차식 공식[편집]

오차식 공식[편집]

반각 공식[편집]

차수 줄이기 이차식 공식에서 로 대입하고, 으로 푼다.

또한, 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 이 되고, 분모는 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.

곱을 합으로 바꾸는 공식[편집]

우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.

합을 곱으로 바꾸는 공식[편집]

위 식의 로, 로 바꾼다.


그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.

삼각함수의 역함수[편집]

역삼각함수라고도 한다.

이면

만약 이면, 등식 우변이 가 된다.

피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.

변수 없는 항등식[편집]

리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.

그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (을 넣고, 를 이용 우변을 정리한다.)

다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.

21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.

1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 212보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)

미적분학[편집]

미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:

을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다. (참고

나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.

적분식은 적분표를 참고하라.

참고 문헌[편집]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0