수론에서 곱셈적 함수(-的函數, 영어: multiplicative function) 또는 곱산술 함수(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.
함수
가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수라고 한다.
- 임의의
에 대하여, 만약
이라면,
이다.
함수
가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, 영어: completely multiplicative function)라고 한다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
(완전) 곱셈적 함수의 정의역은
의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.[1]:413
연산에 대한 닫힘[편집]
곱셈적 함수
에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.[1]:417
![{\displaystyle n\mapsto f(n^{k})\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd5dbf98e061e00e59335a354325bb2b7ecf78c)
![{\displaystyle n\mapsto f(\gcd\{n,k\})\qquad (k\in \mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1621d6670a13cb05b1ff81da52cb06f0b35b4bf)
항등식[편집]
곱셈적 함수
에 대하여, 만약
의 소인수 분해가
![{\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed61fecfb9e000656ad0d97636d8e2cdd6b9fe4)
일 경우, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle f(n)=f(p_{1}^{a_{1}})f(p_{2}^{a_{2}})\cdots f(p_{k}^{a_{k}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b817adc02f270b4d240c4efed7997179ff06fc2)
만약 추가로
가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle f(n)=f(p_{1})^{a_{1}}f(p_{2})^{a_{2}}\cdots f(p_{k})^{a_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082ac7d6d4b0385561e3ee21e9a0daaae39beb50)
즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.[1]:416
곱셈적 함수
에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.[1]:415; 417; 421, 따름정리3
![{\displaystyle f(1)=1\vee f(x)=k\delta _{1,x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6043adcdab4aea37c5235aab5018577733c2f8)
![{\displaystyle f(m)f(n)=f(\gcd\{m,n\})f(\operatorname {lcm} \{m,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed098c4813502c1545fc2f0c8188588a0c4c7c70)
![{\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{p\mid n}(1-f(p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15578df36047d326a5e2efab62897c0b0a03b4b9)
![{\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)^{2}f(d)=\prod _{p\mid n}(1+f(p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6d63722093fc83e41ba6fa6ce809d7d8d145e7)
여기서
는 뫼비우스 함수이다.
곱셈적 함수
의 정의역
이
를 만족한다면,
![{\displaystyle f(-1)=\pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b804e7f31e13529f9c834902e2afceb6f0aa7c7)
이다.[1]:417
디리클레 합성곱[편집]
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수
의 디리클레 합성곱
![{\displaystyle f*g\colon n\mapsto \sum _{d\mid n}f(d)g(n/d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b00c8cb3db64705708ea1130aa3bb7d374ed287)
와 디리클레 역원
![{\displaystyle f^{-1}\qquad (f^{-1}*f=f*f^{-1}=\delta _{\bullet ,1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ae4b9f25cc5ce2d0c4733c1202458672dfc027)
은 곱셈적 함수이다.[1]:423, 정리5; 429, 문제22
곱셈적 함수
에 대하여, 만약
의 소인수 분해가
![{\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed61fecfb9e000656ad0d97636d8e2cdd6b9fe4)
일 경우, 다음이 성립한다.[1]:418, 정리1; 423, 식(27)
![{\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)=\prod _{j=1}^{k}(1+f(p_{j})+\cdots +f(p_{j}^{a_{j}}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66af25358b3d39429c49e0baf6bcf42f9d7fee27)
![{\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod _{j=1}^{k}(f(p_{j}^{a_{j}})-f(p_{j}^{a_{j}-1}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a187d906f06cc71736b51e1f4748d39a66de3fa)
만약 추가로
가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)=\prod _{j=1}^{k}(1+f(p_{j})+\cdots +f(p_{j})^{a_{j}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e341561295733f60da64444bb74dea28b6b29265)
![{\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod _{j=1}^{k}(f(p_{j})^{a_{j}}-f(p_{j})^{a_{j}-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde951ff979d73a05af431d0605708e08ec78cd9)
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.
(
는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
: 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가
인 경우이다.
: 항등 함수. 거듭제곱의 지수가
인 경우이다.
:
이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.
(
는 소수): 르장드르 기호.
이
에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을,
의 배수일 경우 0을 취한다.
다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.
: 오일러 피 함수.
보다 작고
과 서로소인 양의 정수의 개수
: 뫼비우스 함수.
이 제곱 인수가 없는 정수일 경우,
의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다.
이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.
(
는 음이 아닌 정수): 약수 함수.
의 모든 양의 약수의
제곱의 합
:
의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서
인 경우이다.
:
의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서
인 경우이다.
양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수
![{\displaystyle n\mapsto r_{2}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bed31b4ab06dedece5978d3e49b66fc22a69d36)
는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.
![{\displaystyle 1=1^{2}+0^{2}=0^{2}+1^{2}=(-1)^{2}+0^{2}=0^{2}+(-1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf7f742bc11a8b3441a4129bd2a22e4c4b50d60)
즉,
![{\displaystyle r_{2}(1)=4\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4018d74a48d8dd652979e01a2dd2131d788c0e18)
이다.
폰 망골트 함수
![{\displaystyle n\mapsto \Lambda (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869cf55908e7448d102b11fba3e3567288673f2e)
는
이 어떤 소수
의 양의 정수 제곱일 경우
를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.
![{\displaystyle \Lambda (1)=0\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5622cd4491950056a9939f19f8d3259e179c66)
이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]