수학에서 포함 함수(包含函數, 영어: inclusion function) 또는 포함 사상(包含寫像, 영어: inclusion map)은 정의역이 공역의 부분 집합이며, 정의역의 모든 원소를 자신으로 대응시키는 함수이다.
집합
와 그 부분 집합
에 대하여,
에서
로 가는 포함 함수
는 다음과 같은 함수이다.
![{\displaystyle \iota _{Y,X}\colon Y\hookrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9ea9f47b95b3ec174a6982a65141d19dd36c57)
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle \iota _{Y,X}(y)=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe911ab5ef72cae91166fbf762f8f51a1a05310)
즉, 이는
의 항등 함수의 공역을
로 확대하여 얻는다.
모든 포함 함수는 단사 함수이다. 모든 단사 함수는 전단사 함수와 포함 함수의 합성이다.
관련 개념[편집]
포함 함자[편집]
범주
와 그 부분 범주
에 대하여,
에서
로 가는 포함 함자(包含函子, 영어: inclusion functor)
는 다음과 같은 함자이다.
![{\displaystyle \iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}\colon {\mathcal {D}}\hookrightarrow {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff26ae13d084c555bbe997abf8e9038789e5ce86)
- 임의의 대상
에 대하여, ![{\displaystyle \iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}(X)=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13cf6f3a25f700560bd5d1df9a0a029929c8d8f)
- 임의의 대상
및 사상
에 대하여, ![{\displaystyle \iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}(f)=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9cb4f418f6b3684f17494a0ae32aadbf1280f4)
이는 항상 충실한 함자이며, 충만한 함자일 필요충분조건은 충만한 부분 범주이다.
외부 링크[편집]