환론에서 모리타 동치([森田]同値, 영어: Morita equivalence)는 두 환 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다.
모리타 동치[편집]
환
위의 오른쪽 가군
가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥
을 다음과 같이 정의할 수 있다.
![{\displaystyle S=\hom _{R}(U_{R},U_{R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68bc46d891358dc09c178cb422785a90b4b14ee7)
![{\displaystyle {}_{R}V=\hom _{R}(_{S}U_{R},_{R}R_{R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba8672f5be284b3455f0c0e3eb30976403cfc2a)
, ![{\displaystyle (u\otimes v)\mapsto (u'\mapsto uv(u'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7cd8933c5b42b5628913a7ff195505a4485edc)
, ![{\displaystyle (v\otimes u)\mapsto v(u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d5de990d67175f1c9a20c373edc011573606aa)
가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주
의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면,
에 대응되는 모리타 문맥
에 대하여,
는 범주의 동치를 이룬다.
는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다.
반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주
의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치
![{\displaystyle F\colon \operatorname {Mod} _{R}\rightleftarrows \operatorname {Mod} _{S}\colon G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dcf39bc4ccac77520119c442a5a3b39126df51)
가 주어졌을 때,
![{\displaystyle _{S}U_{R}=G(_{S}S_{S})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c731f10de8facb566fe5ab9055353562c9620c2c)
![{\displaystyle _{R}V_{S}=F(_{R}R_{R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b60434d8202ee099425b855d7494999f74b51e7)
로 놓으면,
는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주
의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는
에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.
![{\displaystyle F\cong \otimes _{R}V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0f48366d81e77f7cd8abd2e2572b18eacf5b44)
![{\displaystyle G\cong \otimes _{S}U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8f3bee5300cd27b4c68c1ad6ddad15684c7a26)
또한, 임의의 두 환
에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.
- 가법 동치
의 (자연 동형에 대한) 동형류
- 다음 두 조건을 만족시키는
-쌍가군
들의 동형류
이와 같이, 두 환
,
위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 모리타 동치(영어: Morita-equivalent)라고 하며,
![{\displaystyle R\approx S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3432bfa658af8ff935cb4512b64f0926c94abe87)
로 표기한다.
모리타 쌍대성[편집]
쌍가군
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \hom _{R}\left((-)_{R},_{S}U_{R}\right)\colon \operatorname {Mod} _{R}\to {}_{S}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1deeb13bf01068b9e4d8d53c448d3f6dd53e30)
![{\displaystyle \hom _{S}\left(_{S}(-),_{S}U_{R}\right)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} _{R}^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20008bc3ded2ad513f04851a8595cc8ebe5fe030)
이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.
![{\displaystyle \hom _{R}\left((-)_{R},_{S}U_{R}\right)\dashv \hom _{S}\left(_{S}(-),_{S}U_{R}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f58019dfb82ed534697ba5e425f96ef8723623)
수반 함자의 성분인 자연스러운 사상
![{\displaystyle M_{R}\to \hom _{S}\left(\hom _{R}(M_{R},_{S}U_{R}),_{S}U_{R}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44b80feb363be193fe641bdca59a8f8ab53ac2b)
이 동형 사상일 경우,
-오른쪽 가군
를
-반사 가군(영어:
-reflexive module)이라고 하자. 마찬가지로
-왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를
및
로 표기하자. 이 경우,
와
는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.
아벨 범주
의 충만한 부분 가법 범주
가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.
- 짧은 완전열
에 대하여,
라면
이다.
쌍가군
에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.
는
의 세르 부분 범주이며,
는
의 세르 부분 범주이며,
이며,
이다.
,
,
,
의 모든 몫가군은
-반사 가군이다.
는 단사 가군이자
의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로
는 단사 가군이자
의 쌍대 생성 대상이며, 또한
는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.
이 경우,
가 모리타 쌍대성(영어: Morita duality)을 정의한다고 한다.
또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은
-반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는
및
에 대하여,
-반사 가군인지 여부는
-반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은
에 의존하지 않는다.
모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.
모든 환
및 양의 정수
에 대하여,
는
와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥은
-자유 가군
에 의하여 생성된다. 즉,
![{\displaystyle S=\operatorname {End} _{R}(R^{\oplus n})=\operatorname {Mat} (n;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb59670e932b3ed0e659993bb3f6dc08f100db65)
. 이는 행벡터(=
행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
. 이는 열벡터(=
행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다.
는 열벡터와 행벡터의 외적이다.
아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환
는 유한 개의 나눗셈환
위의 행렬환
들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다.
![{\displaystyle R\cong \operatorname {Mat} (n_{1};D_{1})\times \cdots \times \operatorname {Mat} (n_{k};D_{k})\approx D_{1}\times \cdots \times D_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b4bd8a5fca449a5b576a6ea9f8ee0bf4ff6f8e)
모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다.[1]
- Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
- Schwede, Stefan (2004). 〈Morita theory in Abelian, derived and stable model categories〉. Baker, Andrew; Richter, Birgit. 《Structured ring spectra》. London Mathematical Society Lecture Notes (영어) 315. Cambridge University Press. 33–86쪽. arXiv:math/0310146. Bibcode:2003math.....10146S. ISBN 978-0-52160305-8.
- Müller, Bruno J. (1984). 〈Morita duality — a survey〉. Göbel, R.; Metelli, C.; Orsatti, A.; Salce, L. 《Abelian groups and modules. Proceedings of the Udine Conference, Udine, April 9–14, 1984》. International Centre for Mechanical Sciences Courses and Lectures (영어) 287. Springer-Verlag. 395–414쪽. doi:10.1007/978-3-7091-2814-5_30. ISBN 978-3-211-81847-3. ISSN 0254-1971.
- Phạm Ngọc Ánh (1985). 〈Morita duality, linear compactness and AB5: a survey〉. Facchini, Alberto; Menini, Claudia. 《Abelian groups and modules. Proceedings of the Padova Conference, Padova, Italy, June 23–July 1, 1994》. Mathematics and Its Applications (영어) 343. Springer-Verlag. 17-28쪽. doi:10.1007/978-94-011-0443-2_2. ISBN 978-94-010-4198-0.
외부 링크[편집]