![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Left_cosets_of_Z_2_in_Z_8.svg/220px-Left_cosets_of_Z_2_in_Z_8.svg.png)
속의,
의 잉여류들
군론에서 잉여류(剩餘類, 영어: coset 코셋[*])는 주어진 부분군에 의하여 결정되는 동치 관계의 동치류이다.
가 군이고,
가 그 부분군이며,
가
의 원소일 때,
가 속하는
의 왼쪽 잉여류(영어: left coset)는 다음과 같다.
![{\displaystyle gH=\{gh\colon h\in H\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20d19b1125a1b79829a2998a58bf6486a2c3614)
마찬가지로,
가 속하는
의 오른쪽 잉여류(영어: right coset)는 다음과 같다.
![{\displaystyle Hg=\{hg\colon h\in H\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959f5ac3ecfa88cc2fcc06b7519d25fd0bf7ab8b)
(아벨 군의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를
나
로 표기한다.)
속의
의 모든 왼쪽 잉여류의 집합을
라고 표기한다. (만약
가 정규 부분군일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, 몫군이라고 한다.)
의 크기는
라고 표기하며,
의
속에서의 지표(指標, 영어: index)라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 왼쪽 잉여류들의 수이다.
가 위상군이라고 하자. 그렇다면, 왼쪽 잉여류 집합
는 자연스러운 몫공간 위상을 갖는다. 이를 잉여류 공간(영어: coset space)이라고 한다. 이는 동차공간을 이룬다.
군
의 부분군
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 모든
에 대하여,
이다.
는
의 정규 부분군이다.
라그랑주 정리에 따르면, 만약
가 유한군이라면, 부분군
의 지표는 다음과 같다.
![{\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd626e084ea61abc793525c1ed4d1bded5ecc47)
만약 일련의 부분군들
이 주어졌다면,
![{\displaystyle |G:K|=|G:H||H:K|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e070c9eeea76bf4ce3ce4b7922ac0b5a3a919728)
이다. 여기서 우변은 기수의 곱셈이다.
지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군이다. 보다 일반적으로, 유한군
및 소수
에 대하여, 만약
가
의 최소 소인수라면, 지표가
인 부분군은 항상 정규 부분군이다.
우선, 군
와 부분군
가 주어졌고,
라고 하자. 그렇다면, 임의의
에 대하여
![{\displaystyle gN=Ng={\begin{cases}N&g\in N\\G\setminus N&g\not \in N\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a66b714bed96d56e3e9061853a01b7eac81c17)
이다. 즉,
은
의 정규 부분군이다.
유한군
및 소수
및 부분군
가 주어졌고,
가
의 최소 소인수이며,
라고 하자.
이 정규 부분군이라는 사실을 증명하려면, 임의의
에 대하여
임을 보이면 된다.
![{\displaystyle H=gNg^{-1}\cap N\leq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb317a7069113c8a50b84d57a5fa53840cd7c5e)
이라고 하자. 그렇다면
임을 보이기만 하면 된다.
![{\displaystyle |gNg^{-1}N|=|N|^{2}/|H|\leq |G|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c67cb8943d173f3e9d0bdb1555a9755e2c11496)
이므로
![{\displaystyle |N|/|H|\leq |G|/|N|=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c29161b32f97509412a4b9c9619c5dda5c67db0)
이다.
는
의 최소 소인수이므로,
이거나
이다. 만약
라면,
![{\displaystyle |gNg^{-1}N|=p|N|=|G|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73ceb38d0b338c0f34ffe1077b709b8a3874a83)
이므로
이며, 특히
![{\displaystyle g=gng^{-1}n'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0a903d7b5eed0835f1aa9b90b6996a795a1b59)
인
이 존재한다.
![{\displaystyle g^{-1}=n^{-1}{n'}^{-1}\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2670fd674c27e6ff1a545305c0172d373f3b59)
이므로
와 모순이다. (이 명제는 정규핵을 사용하여 증명할 수도 있다.)
정수의 덧셈군
속의,
의 배수들로 구성된 부분군
![{\displaystyle H=n\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b76a36d3c34756bf4ed189e9a3d4173afacb7d)
을 생각하자. 그렇다면,
의 잉여류
![{\displaystyle k+H=H+k=\{x\in \mathbb {Z} \colon x\equiv k{\pmod {n}}\}\subseteq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542c4539978494bc093315038f1fde83d2ed226e)
는
와 합동인 정수들의 집합이다. 이 경우
는 정규 부분군이므로, 잉여류 공간
은 몫군을 이루며, 이는 크기
의 순환군이다.