특성 부분군

군론에서, 특성 부분군(特性部分群, 영어: characteristic subgroup)은 자기 동형 사상 아래 불변인 부분군이다.

정의

군 $G$ 의 부분군 $H\leq G$ 가 다음 조건을 만족시키면, $H$ 를 $G$ 의 특성 부분군이라고 한다.

임의의 군 자기 동형 사상 $\phi \in \operatorname {Aut} (G)$ 에 대하여, $\phi (H)\leq H$ . (물론, 반드시 $\phi (H)=H$ 이다.)

즉, $G$ 의 특성 부분군은 $G$ 의 자기 동형 사상 아래 불변인 부분군이다.

군 $G$ 의 부분군 $H\leq G$ 가 다음 조건을 만족시키면, $H$ 를 $G$ 의 완전 불변 부분군(完全不變部分群, 영어: fully invariant subgroup)이라고 한다.

임의의 군 자기 준동형 $\phi \in \operatorname {End} (G)$ 에 대하여, $\phi (H)\leq H$ . ( $\phi (H)=H$ 일 필요는 없다.)

즉, $G$ 의 완전 불변 부분군은 $G$ 의 자기 준동형에 대하여 닫혀 있는 부분군이다.

성질

임의의 군의 부분군에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

완전 불변 부분군 ⇒ 특성 부분군 ⇒ 정규 부분군

특성 부분군·완전 불변 부분군은 추이적 관계를 이룬다. 즉,

만약 $H$ 가 $G$ 의 특성 부분군이며, $K$ 가 $H$ 의 특성 부분군이라면, $K$ 는 $G$ 의 특성 부분군이다.^[1]^{: 28, §1.5.6.(i)}
만약 $H$ 가 $G$ 의 완전 불변 부분군이며, $K$ 가 $H$ 의 완전 불변 부분군이라면, $K$ 는 $G$ 의 완전 불변 부분군이다.^[1]^{: 28, §1.5.6.(ii)}

증명:

$H$ 가 $G$ 의 특성 부분군이며, $K$ 가 $H$ 의 특성 부분군이이며, $\phi \in \operatorname {Aut} (G)$ 라고 하자. $\phi (H)=H$ 이므로, $\phi |_{H}\in \operatorname {Aut} (H)$ 이다. 따라서

\phi (K)=\phi |_{H}(K)=K

이다.

$H$ 가 $G$ 의 완전 불변 부분군이며, $K$ 가 $H$ 의 완전 불변 부분군이이며, $\phi \in \operatorname {End} (G)$ 라고 하자. $\phi (H)\leq H$ 이므로, $\phi |_{H}\in \operatorname {End} (H)$ 이다. 따라서

\phi (K)=\phi |_{H}(K)\leq K

이다.

만약 $H$ 가 $G$ 의 정규 부분군이며, $K$ 가 $H$ 의 특성 부분군이라면, $K$ 는 $G$ 의 정규 부분군이다.^[1]^{: 28, §1.5.6.(iii)}

증명:

$\phi \in \operatorname {Inn} (G)$ 라고 하자. $\phi (H)=H$ 이므로, $\phi |_{H}\in \operatorname {Aut} (H)$ 이다. 따라서

\phi (K)=\phi |_{H}(K)=K

이다.

예

군 $G$ 의 다음 부분군들은 완전 불변 부분군이다.

자명 부분군 $1$ 과 군 전체 $G$
교환자 부분군 $G^{(1)}=[G,G]$
보다 일반적으로, 하중심렬 $G=\gamma _{0}(G)\geq \gamma _{1}(G)\geq \gamma _{2}(G)\geq \cdots$ 속 부분군
음이 아닌 정수 $n$ 에 대하여, $G^{n}=\{g_{1}^{n}\cdots g_{k}^{n}\colon k\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\},\;g_{1},\dots ,g_{k}\in G\}$

모든 완전 불변 부분군은 특성 부분군이다. 군 $G$ 의 다음 부분군들 역시 특성 부분군이다.

프라티니 부분군 $\Phi (G)$
중심 $\operatorname {Z} (G)$ $\operatorname {Z} (G)$
- 보다 일반적으로, 상중심렬 $1=\operatorname {Z} _{0}(G)\leq \operatorname {Z} _{1}(G)\leq \operatorname {Z} _{2}(G)\leq \cdots$ 속 부분군

참고 문헌

1 2 3 Robinson, Derek J. S. (1996). 《A course in the theory of groups》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 80. 뉴욕: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4419-8594-1. ISBN 978-0-387-94461-6. ISSN 0072-5285. MR 1357169. Zbl 0836.20001.

외부 링크

“Characteristic subgroup” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

같이 보기

[Robinson-1] 1 2 3 Robinson, Derek J. S. (1996). 《A course in the theory of groups》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 80. 뉴욕: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4419-8594-1. ISBN 978-0-387-94461-6. ISSN 0072-5285. MR 1357169. Zbl 0836.20001.

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