우선,
가 유한 특성 단순군이라고 하고,
가 유한 개의 같은 단순군의 직접곱임을 보이자. 편의상
이라고 하자.
의 임의의 극소 정규 부분군
을 취하자. 그렇다면, 임의의
에 대하여,
역시 극소 정규 부분군이다. 이제
이
![{\displaystyle \{\phi _{1}(N)\times \cdots \times \phi _{k}(N)\leq G\colon \phi _{i}\in \operatorname {Aut} (G),\;\forall i\in \{1,\dots ,k\}\colon \phi _{i}(N)\cap \phi _{1}(N)\cdots \phi _{i-1}(N)\phi _{i+1}(N)\cdots \phi _{k}(N)=\{1_{G}\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fcaee3427eddd5608c62e4b33a7440f08700ab6)
의 한 극대 원소라고 하자. 그렇다면,
이며, 임의의
에 대하여,
이다. 따라서
이거나
이며,
의 극대성에 의하여
이다. 즉,
![{\displaystyle M=\prod _{\phi (N)}\phi (N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0575c91778082eba0680613551675d2018a9b3)
이며,
은
의 특성 부분군이다.
는 특성 단순군이므로
이다. 또한, 임의의
에 대하여,
이므로,
의 극소성에 의하여
이거나
이다. 즉,
은 단순군이며,
![{\displaystyle G=\prod _{\phi (N)}\phi (N)\cong \prod _{\phi (N)}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2369e3144855f2227d8de4ca382a240a418653b)
이다.
반대로, 임의의 단순군
및 음이 아닌 정수
에 대하여,
이 특성 단순군임을 보이자. 만약
이 아벨 군이라면,
은 소수이며,
에 체의 구조를 부여할 수 있고,
을 이 체에 대한
차원 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이 경우
의 군으로서의 자기 동형 사상은 전단사 선형 변환과 동치이며, 특성 부분군은 모든 전단사 선형 변환에 대하여 불변인 부분 벡터 공간과 동치이다. 이러한 부분 공간은 영공간과 자기 자신뿐이므로,
은 특성 단순군이다.
만약
이 아벨 군이 아니라면,
개의 자연스러운 단사 군 준동형
![{\displaystyle \imath _{i}\colon N\hookrightarrow N^{\times n}\qquad (i\in \{1,\dots ,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c651e5d3a94ba78a07570feb82f6482bf9f73521)
의 상을
로 표기하자. 그렇다면
은 다음과 같은 내직접곱과 같다.
![{\displaystyle N^{\times n}=N_{1}\times \cdots \times N_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8f031e1ccf8234aed322ea450ee0da8d1be37b)
우선 임의의
를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 사실을 보이자.
![{\displaystyle H=N_{i_{1}}\times \cdots \times N_{i_{k}}\qquad (1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd9ad92c231b16e0aae75374437dc1d8372ec684)
이는 임의의
및
및
에 대하여, 만약
이며,
일 경우,
임을 보이는 것으로 족하다.
는 비아벨 단순군이므로
이며, 특히
이다. 따라서,
![{\displaystyle 1_{N^{\times n}}\neq g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1}=ghg^{-1}h^{-1}\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8315a9f9f7626ee0c0bc5f6cfae85c134492473)
인
가 존재하며,
![{\displaystyle N_{j}=\langle \operatorname {Cl} (g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1})\rangle \subseteq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6029d510457a83d50e4f9a2801f171c299a99226)
이다. (여기서
는
의 켤레류로 생성된 부분군을 뜻한다.)
이제
가
의 자명하지 않은 특성 부분군이라고 가정하자. 편의상
![{\displaystyle H=N_{1}\times \cdots \times N_{k}\qquad (1\leq k<n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03cf66dec84b5e4ea58308cbb4a060cc5a0bc8a)
이라고 하자. 다음과 같은
의 자기 동형 사상을 생각하자.
![{\displaystyle \phi \colon N^{\times n}\to N^{\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3579072546f0360e97f81a249d3b34110f764764)
![{\displaystyle \phi \colon (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n})\mapsto (g_{n},g_{1},\dots ,g_{n-1})\qquad (g_{i}\in N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f82433a7c45f941ccd86b2c2b24403dec51909)
그렇다면
![{\displaystyle \phi (H)=N_{2}\times \cdots \times N_{k+1}\neq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c7b4903c3a06209987b5b54baa64c899ba3e24)
이며, 이는 모순이다. 즉,
은 자명하지 않은 특성 부분군을 갖지 않는다.