잉여류

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속의, 의 잉여류들

군론에서 잉여류(剩餘類, 영어: coset 코셋[*])는 주어진 부분군에 의하여 결정되는 동치 관계동치류이다.

정의[편집]

이고, 가 그 부분군이며, 의 원소일 때, 가 속하는 왼쪽 잉여류(영어: left coset)는 다음과 같다.

마찬가지로, 가 속하는 오른쪽 잉여류(영어: right coset)는 다음과 같다.

(아벨 군의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를 로 표기한다.)

속의 의 모든 왼쪽 잉여류의 집합을 라고 표기한다. (만약 정규 부분군일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, 몫군이라고 한다.) 크기라고 표기하며, 속에서의 지표(指標, 영어: index)라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 왼쪽 잉여류들의 수이다.

잉여류 공간[편집]

위상군이라고 하자. 그렇다면, 왼쪽 잉여류 집합 는 자연스러운 몫공간 위상을 갖는다. 이를 잉여류 공간(영어: coset space)이라고 한다. 이는 동차공간을 이룬다.

성질[편집]

의 부분군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 모든 에 대하여, 이다.
  • 정규 부분군이다.

라그랑주 정리에 따르면, 만약 유한군이라면, 부분군 의 지표는 다음과 같다.

만약 일련의 부분군들 이 주어졌다면,

이다. 여기서 우변은 기수의 곱셈이다.

지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군이다. 보다 일반적으로, 유한군 및 소수 에 대하여, 만약 의 최소 소인수라면, 지표가 인 부분군은 항상 정규 부분군이다.

증명:

우선, 군 와 부분군 가 주어졌고, 라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여

이다. 즉, 의 정규 부분군이다.

유한군 및 소수 및 부분군 가 주어졌고, 의 최소 소인수이며, 라고 하자. 이 정규 부분군이라는 사실을 증명하려면, 임의의 에 대하여 임을 보이면 된다.

이라고 하자. 그렇다면 임을 보이기만 하면 된다.

이므로

이다. 의 최소 소인수이므로, 이거나 이다. 만약 라면,

이므로 이며, 특히

이 존재한다.

이므로 와 모순이다. (이 명제는 정규핵을 사용하여 증명할 수도 있다.)

[편집]

정수의 덧셈군 속의, 의 배수들로 구성된 부분군

을 생각하자. 그렇다면, 의 잉여류

합동인 정수들의 집합이다. 이 경우 정규 부분군이므로, 잉여류 공간 몫군을 이루며, 이는 크기 순환군이다.

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]