폐포 (수학)

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수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 닫힘(영어: closure)은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 폐포(閉包, 영어: closure)는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 또는 .

정의[편집]

닫힘[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 집합
  • 위의 '항 관계' . 단, 임의의 에 대하여, 이며,
    • 특히, 에 대하여, 위의 항 관계을 위 조건 및 를 만족시키는 '항 관계'로 여길 수 있다. 또한, 항 연산은 자연스럽게 항 관계로 여길 수 있다.

만약 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 에 대하여 닫혀있다(영어: closed under )고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 이면

보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는, 위의 '항 관계'의 집합 가 주어졌을 때, 가 다음 조건을 만족시키면, 에 대하여 닫혀있다(영어: closed under )고 한다.

  • 에 대하여 닫혀있다.
    • 즉, 임의의 에 대하여, 에 대하여 닫혀있다.

폐포[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 집합
  • 의 부분 집합들에 대한 성질

의 부분 집합 에 대한 폐포 는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

  • 임의의 에 대하여,

폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다. 가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며, 의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다.

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위상수학[편집]

위상 공간 의 부분 집합 가 다음 항 관계 에 대하여 닫혀있다면, 닫힌집합이라고 한다. 임의의 에 대하여,

여기서 는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 의 부분 집합 에 대하여, 최소 닫힌집합 폐포라고 한다.

비슷하게, 점렬 닫힌집합점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 항 관계 에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 에 대하여,

대수학[편집]

의 부분 집합 가 군의 연산 집합 에 대하여 닫혀있다면, 부분군이라고 한다. 에 대하여, 최소 부분군 로 생성되는 군이라고 한다.

대수적으로 닫힌 체 부분체 속에서 위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면, 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 부분체 대수적 폐포 는 최소 대수적으로 닫힌 체 이다. 의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다.

집합론[편집]

집합 가 (모든 집합의 모임 위의) 원소 관계 에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합 에 대하여, 최소 추이적 집합 추이적 폐포라고 한다.

집합 위의 이항 관계 위의 일항 관계 에 대하여 닫혀있다면, 즉, 이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계 에 대하여, 최소 반사 관계 반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다.

같이 보기[편집]