닫힘 (수학)

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닫힘(closure, 폐포, 닫힘체) C(X)는 어떤 대상 X에 대하여, X부분집합으로 포함하면서 일정한 특성을 가진, 가장 작은 대상(object)으로 정의된다. 어떤 대상이 자신의 닫힘과 같으면 그 집합은 닫힌 집합이다. 다시 말해 어떤 집합 A의 닫힘 \bar A\bar A = A이면, A닫힌 집합이다.

[편집]

  • 위상수학 및 관련 분과에서, 한 집합의 위상학적 닫힘.
  • 대수학에서, 한 이항연산 아래서 어떤 집합 S닫힘체S를 포함하면서 그 이항연산에 대해 닫혀 있는, 가장 작은 집합 C(S)이다. 말하자면, 집합 A가 연산 *에 대해 닫혀 있다는 것의 의미는 A의 임의의 원소 a, b에 대해여 a*b 역시 A의 원소가 된다는 뜻이다. 예를 들어, 모든 양수의 집합은 뺄셈에 대해 닫혀 있지 않다. 왜냐하면, 두 양수의 차이는 경우에 따라 양수가 아닐 수도 있기 때문이다. 모든 양수의 집합은 덧셈에 대해서는 닫혀 있다. 두 양수의 합은 언제나 양수이기 때문이다. 모든 실수의 집합은 뺄셈에 대해 닫혀 있다. 특별히 체의 닫힘체는 대수적 폐포라고 부른다.

해석학에서의 닫힘[편집]

해석학에서의 임의의 집합 S ⊂ Rn 닫힘은 S와 도집합 S'의 합집합을 말하며, \bar{S} 또는 cl(S)로 표기한다.