수학에서 드무아브르의 공식(영어: de Moivre’s formula) 또는 드무아브르의 정리(de Moivre's theorem)는 임의의 복소수를 극형식으로 나타내었을 때 성립하는 다음 등식을 의미한다. 이 식에서 i는 허수 단위를 뜻한다.
![{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos {nx}+i\sin {nx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2233d8bbcdbf0801ab14ea1981e007c2c01ee8)
이 공식은 복소수와 삼각 함수간의 관계를 보여준다.
가 실수라는 가정하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면
만을 사용하여
와
을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라,
의 복소근을 쉽게 구할 수 있다.
역사적으로 오일러의 공식보다도 더 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 이를 쉽게 유도할 수 있다.
![{\displaystyle e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbbe899b8f3a08cc2d8f6562a2a6216ac3fe010)
지수 함수의 성질에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.
![{\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b8cd4f0d9499969ce09c67cd2ac98ed7c213ed)
그러면, 오일러의 공식에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.
![{\displaystyle e^{i(nx)}\,=\,\cos {nx}+i\sin {nx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77396e7b09ac91592618768bb427d1c8cace0e)
세 가지 경우로 나누어 생각한다.
인 정수에 대하여, 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다.
일 때, 이 등식은 참이다. 이제
일 때 다음의 식이 성립한다고 가정하자.
![{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\,=\,\cos {kx}+i\sin {kx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f475717cbce57566d4c8555e9a96636208ed70b1)
이제
일 때 식이 성립하는지를 확인하면,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos {kx}+i\sin {kx}\right)\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\cos {kx}\cos x-\sin {kx}\sin x+i\left(\cos {kx}\sin x+\sin {kx}\cos x\right)\\&=\cos {\left(k+1\right)x}+i\sin {\left(k+1\right)x}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05164367ea65e06b9157d83649885bcb79c8b8ee)
이 식이
일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여
인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다.
이제
일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보면,
또는
라는 약속에 의하여 성립한다.
이제
일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보자. 우선
을 만족하는 양의 정수
에 대하여 생각하여 보면,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos {mx}-i\sin {mx}\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos {nx}+i\sin {nx}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0714374a7cdc12c5cb704aadf5118aad8e958d)
이 식이 모든 정수에 대하여 성립한다는 사실을 알 수 있다.
코사인과 사인 부분을 각각 증명하는 방법
[편집]
복소수의 성질에 의하여, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다.
만약
와
가 실수라면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos {nx}&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i}}(-1)^{i}(\cos {x})^{n-2i}(\sin {x})^{2i}&&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i}}(\cos {x})^{n-2i}((\cos {x})^{2}-1)^{i}\\\sin {nx}&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i+1}}(-1)^{i}(\cos {x})^{n-2i-1}(\sin {x})^{2i+1}&&=(\sin {x})\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i+1}}(\cos {x})^{n-2i-1}((\cos {x})^{2}-1)^{i}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb302546ba6d6b213086275648fc50d7c6c57c4)
이 식은
가 복소수일 때에도 양변이 정칙함수이므로, 그 성질에 의하여 성립한다. 위의 식이 실제로 성립하는지 확인해보기 위해
을 대입해보면,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos {2x}&=(\cos {x})^{2}+((\cos {x})^{2}-1)&&=2(\cos {x})^{2}-1\\\sin {2x}&=2{\sin {x}}{\cos {x}}\\\cos {3x}&=(\cos {x})^{3}+3\cos {x}((\cos {x})^{2}-1)&&=4(\cos {x})^{3}-3\cos {x}\\\sin {3x}&=3(\cos {x})^{2}{\sin {x}}-(\sin {x})^{3}&&=3\sin {x}-4(\sin {x})^{3}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f687916e10273cde736a7d4e74520d23509ca12a)
에 대한 등식의 우변은, 실제로는 체비쇼프 다항식
의 값이다.
이 공식은 더 일반적으로 확장할 수 있다.
와
가 복소수라면,
와는 달리
![{\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562727455924d048a3eb94363324a97e65b96dcd)
는 여러값 함수(multivalued function)이다. 따라서
![{\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059829d411907cd533d281af1e19a83296fb3d1a)
는
의 여러 값중 하나일 뿐이다.
복소평면위에 찍은
의 근.
이 공식은
의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 만약
가 복소수라면, 이는 극형식 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다.
![{\displaystyle w=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795da1a1f336eef7e02f1e9cd80d69ed8ad8e70c)
이 때
가 정수라면,
![{\displaystyle w^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2f080016d8de52eef64c247beb8c9bceb1192b)
개의 서로 다른 근을 구할 때,
부터
까지의 값을 대입해주면 쉽게 그 값을 구할 수 있다.
또한 이 공식은 고차방정식의 특수형태인,
의 꼴로, 이항방정식 이되겠다.
아브라암 드무아브르가 발견하였다. 허수에 대한 직접적인 언급은 없다.[1][2]
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (p. 74).