유리근 정리

대수학에서, 유리근 정리(有理根定理, 영어: rational root theorem)는 정수 계수 다항식이 주어진 유리수를 근으로 할 필요 조건을 제시하는 정리이다.

정의

유일 인수 분해 정역 $R$ 의 다항식환을 $R[x]$ 라고 하고, 분수체를 $\operatorname {Frac} R$ 라고 하자. 다항식

p(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots r_{1}x+r_{0}\in R[x]

가 분수체 원소 $r/s\in \operatorname {Frac} R$ 를 근으로 가지며, $\gcd\{r,s\}=1$ 이라고 하자. 유리근 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

r\mid r_{0}

s\mid r_{n}

특히, 만약 $p(x)$ 가 일계수 다항식이라면 ( $r_{n}=1$ 이라면), $r/s\in R$ 는 환의 원소이다.^[1]^{:185, §IV.3, Proposition 3.3}

$r/s$ 가 $p(x)$ 의 근이므로,

{\begin{aligned}0=s^{n}0=s^{n}p\left({\frac {r}{s}}\right)&=s^{n}\left(r_{n}{\frac {r^{n}}{s^{n}}}+r_{n-1}{\frac {r^{n-1}}{s^{n-1}}}+\cdots r_{1}{\frac {r}{s}}+r_{0}\right)\\&=r_{n}r^{n}+r_{n-1}r^{n-1}s+\cdots +r_{1}rs^{n-1}+r_{0}s^{n}\end{aligned}}

이다. 따라서

r\mid -r_{n}r^{n}-r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots -r_{1}rs^{n-1}=r_{0}s^{n}

s\mid -r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots -r_{1}rs^{n-1}-r_{0}s^{n}=r_{n}r^{n}

이다. 또한, $\gcd\{r,s^{n}\}=\gcd\{s,r^{n}\}=1$ 이므로,

r\mid r_{0}

s\mid r_{n}

이다.

↑ Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Rational zero theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Rational root theorem”. 《PlanetMath》 (영어).