인수 정리

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대수학에서 인수 정리(因數 定理, 영어: Factor theorem)는 다항식이 어떤 1차 다항식을 약수로 가질 필요충분조건을 제시한다. 다항식 나머지 정리의 특별한 경우이다.[1] 인수 정리는 다항식 (즉 는 근)인 경우에만 인수 를 갖는다고 명시한다.[2]

정의[편집]

인수 정리에 따르면, 및 다항식 중심의 원소 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • . 즉, 인 다항식 가 존재한다.
  • . 즉, 의 근이다.

증명:

첫 번째 조건은 로 나눈 나머지가 0인 것과 동치이다. 나머지 정리에 따라, 로 나눈 나머지는 이다. 따라서 위 두 조건은 서로 동치이다.

응용[편집]

다항식의 인수분해[편집]

인수 정리가 일반적으로 적용되는 2가지 문제는 다항식을 인수분해하고 다항식의 근을 찾는 문제이다. 또한 인수 정리는 알려지지 않은 모든 근을 그대로 유지하면서 다항식으로부터 알려진 근을 제거하는 데 사용되므로 근을 보다 찾기 쉬울 정도로 낮은 차수의 다항식을 생성한다. 그 방법은 추상적으로 다음과 같다.[3]

  1. 다항식 의 근인 를 찾는다. (일반적으로 이는 매우 어렵다.)
  2. 인수 정리를 사용하여 의 인수라고 결론을 내린다.
  3. 다항식 를 구한다. 다항식 장제법 또는 조립제법을 사용할 수 있다.
  4. 의 근은 의 근이라는 결론을 내린다. 의 다항식 차수가 의 다항식 차수보다 하나 작기 때문에 를 연구하여 나머지 근을 찾는 것이 간단한 편이다.

예제[편집]

의 근을 구하라. 이는 시행착오(또는 유리근 정리)를 사용하여 식이 0이 되도록 하는 1번째 x의 값을 찾는다. 유리근 정리에 따라 유리수 근의 후보는 뿐이다. 이 인수인 지의 여부를 확인하려면 을 위의 다항식으로 대체한다.

이러한 등식에서는 0이 아닌 18과 같은 값이 나오는데 의 인수가 아니기 때문이다. 따라서 우리는 다음에 을 시도한다. 이에 따라 을 다항식으로 변환한다.

이러한 등식은 과 같은 값이 나온다. 그러므로 은 즉 이 인수가 되고 이 된다.

다음 2개의 근은 대수적으로 로 나누어 2번째 근을 구할 수 있다.

따라서 의 인수가 된다. 이 가운데 2차 인수는 이차 방정식을 활용하여 추가로 인수분해될 수 있는데 이러한 공식은 의 근을 제공한다. 따라서 원래 다항식에서 3개의 기약 인수는 , , 이다.

대수적으로 닫힌 체[편집]

대수적으로 닫힌 체는 모든 0이 아닌 다항식이 적어도 하나 이상의 근을 갖는 이다. 인수 정리에 따라, 이는 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있는 것과 동치이다.

각주[편집]

  1. Sullivan, Michael (1996년), 《Algebra and Trigonometry》, Prentice Hall, 381쪽, ISBN 0-13-370149-2 
  2. Sehgal, V K; Gupta, Sonal, 《Longman ICSE Mathematics Class 10》, Dorling Kindersley (India), 119쪽, ISBN 978-81-317-2816-1 
  3. Bansal, R. K., 《Comprehensive Mathematics IX》, Laxmi Publications, 142쪽, ISBN 81-7008-629-9 .