대수학 에서 인수 정리 (因數 定理, 영어 : Factor theorem )는 다항식 이 어떤 1차 다항식을 약수 로 가질 필요충분조건 을 제시한다. 다항식 나머지 정리 의 특별한 경우이다.[ 1]
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
r
)
=
0
{\displaystyle f(r)=0}
r
{\displaystyle r}
x
−
r
{\displaystyle x-r}
[ 2]
인수 정리 에 따르면, 환
R
{\displaystyle R}
f
∈
R
[
x
]
{\displaystyle f\in R[x]}
중심 의 원소
r
∈
Z
(
R
)
{\displaystyle r\in \operatorname {Z} (R)}
동치 이다.
x
−
r
∣
f
(
x
)
{\displaystyle x-r\mid f(x)}
f
(
x
)
=
(
x
−
r
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)=(x-r)g(x)}
g
∈
R
[
x
]
{\displaystyle g\in R[x]}
f
(
r
)
=
0
{\displaystyle f(r)=0}
r
{\displaystyle r}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
인수 정리가 일반적으로 적용되는 2가지 문제는 다항식을 인수분해 하고 다항식의 근을 찾는 문제이다. 또한 인수 정리는 알려지지 않은 모든 근을 그대로 유지하면서 다항식으로부터 알려진 근을 제거하는 데 사용되므로 근을 보다 찾기 쉬울 정도로 낮은 차수의 다항식을 생성한다. 그 방법은 추상적으로 다음과 같다.[ 3]
다항식
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
인수 정리를 사용하여
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
다항식
g
(
x
)
=
f
(
x
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{(x-a)}}}
다항식 장제법 또는 조립제법 을 사용할 수 있다.
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
a
{\displaystyle a}
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle g(x)=0}
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
x
3
+
7
x
2
+
8
x
+
2
{\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}
유리근 정리 )를 사용하여 식이 0이 되도록 하는 1번째 x 의 값을 찾는다. 유리근 정리 에 따라 유리수 근의 후보는
1
,
−
1
,
2
,
−
2
{\displaystyle 1,-1,2,-2}
(
x
−
1
)
{\displaystyle (x-1)}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
3
+
7
x
2
+
8
x
+
2
=
(
1
)
3
+
7
(
1
)
2
+
8
(
1
)
+
2
=
1
+
7
+
8
+
2
=
18
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+7x^{2}+8x+2&=(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2\\&=1+7+8+2\\&=18\end{aligned}}}
이러한 등식에서는 0이 아닌 18과 같은 값이 나오는데
(
x
−
1
)
{\displaystyle (x-1)}
x
3
+
7
x
2
+
8
x
+
2
{\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}
(
x
+
1
)
{\displaystyle (x+1)}
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
(
−
1
)
3
+
7
(
−
1
)
2
+
8
(
−
1
)
+
2
{\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2}
이러한 등식은
0
{\displaystyle 0}
x
−
(
−
1
)
{\displaystyle x-(-1)}
x
+
1
{\displaystyle x+1}
−
1
{\displaystyle -1}
x
3
+
7
x
2
+
8
x
+
2
{\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}
근 이 된다.
다음 2개의 근은 대수적으로
x
3
+
7
x
2
+
8
x
+
2
{\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}
(
x
+
1
)
{\displaystyle (x+1)}
x
3
+
7
x
2
+
8
x
+
2
x
+
1
=
x
2
+
6
x
+
2
{\displaystyle {x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}=x^{2}+6x+2}
따라서
(
x
+
1
)
{\displaystyle (x+1)}
x
2
+
6
x
+
2
{\displaystyle x^{2}+6x+2}
x
3
+
7
x
2
+
8
x
+
2
{\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}
이차 방정식 을 활용하여 추가로 인수분해될 수 있는데 이러한 공식은
−
3
±
7
{\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}}
기약 인수는
x
+
1
{\displaystyle x+1}
x
−
(
−
3
+
7
)
{\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}})}
x
−
(
−
3
−
7
)
{\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}})}
대수적으로 닫힌 체 는 모든 0이 아닌 다항식이 적어도 하나 이상의 근을 갖는 체 이다. 인수 정리에 따라, 이는 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있는 것과 동치 이다.
↑ Sullivan, Michael (1996년), 《Algebra and Trigonometry》, Prentice Hall, 381쪽, ISBN 0-13-370149-2 ↑ Sehgal, V K; Gupta, Sonal, 《Longman ICSE Mathematics Class 10》, Dorling Kindersley (India), 119쪽, ISBN 978-81-317-2816-1 ↑ Bansal, R. K., 《Comprehensive Mathematics IX》, Laxmi Publications, 142쪽, ISBN 81-7008-629-9
나눗셈 정리 § 인수 정리 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle f\in R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec5c80a045e4fc9f9e93ac6d210bafafd205bc2)
![{\displaystyle g\in R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc482e9b0c23f53f0d66496ec928011d0d99d850)
