동형 정리

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추상대수학에서, 동형 정리(同型定理, 영어: isomorphism theorem)는 준동형과 부분 대수, 합동 관계 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다. 이는 보편 대수학의 정리로, 임의의 대수 구조에 대하여 정의할 수 있다.

정의[편집]

대수 구조 는 집합 와, 꼴의 함수들의 집합 의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 준동형은 연산들을 보존시키는 함수이다.

제1 동형 정리[편집]

대수 준동형 에 대하여, 다음 명제들이 성립한다.

  • 의 부분대수이다.
  • 위의 합동 관계이다.
  • 는 대수의 동형 사상이다.

제2 동형 정리[편집]

대수 및 부분대수 위의 합동 관계 가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다.

  • 위의 합동 관계이다.
  • 와 겹치는 -동치류들의 집합이라고 하자. 그렇다면 의 부분대수이다.,
  • 와 동형이다.

제3 동형 정리[편집]

대수 위에 두 합동 관계 가 주어졌으며, 라면 이라고 하자. 즉, 보다 더 고른 동치 관계라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  • 위의 이항 관계 로 정의하자. 그렇다면 위의 합동 관계이다.
  • 과 동형이다.

[편집]

위 3개의 동형 정리는 보편 대수학에 따라, 임의의 대수 구조에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.

보편 대수 가군
대수 구조 -왼쪽 가군
합동 관계 정규 부분군 아이디얼 부분가군
부분 대수 부분군 부분환 부분가군

군 동형 정리[편집]

제1 동형 정리

군 준동형 에 대하여,

제2 동형 정리

및 부분군 정규 부분군 에 대하여,

    • 따라서, .
제3 동형 정리

정규 부분군 에 대하여,

환 동형 정리[편집]

제1 동형 정리

환 준동형 에 대하여,

  • 의 부분환이다.
  • 아이디얼이다.
제2 동형 정리

및 부분환 아이디얼 에 대하여,

  • 의 아이디얼
  • 의 부분환
    • 따라서, 의 부분환이다.
제3 동형 정리

아이디얼 에 대하여,

  • 의 아이디얼이다.

가군 동형 정리[편집]

모든 가군은 주어진 에 대한 왼쪽 가군이다.

제1 동형 정리

가군 준동형 에 대하여,

  • 의 부분가군이다.
  • 의 부분가군이다.
제2 동형 정리

가군 의 부분가군 에 대하여,

  • 의 부분가군이다.
  • 의 부분가군이다.
    • 따라서, 의 부분가군이다.
제3 동형 정리

가군 의 부분가군 에 대하여,

  • 의 부분가군이다.

역사[편집]

에미 뇌터가 1927년에 증명하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. Noether, Emmy (1927). “Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 96: 26–61. doi:10.1007/BF01209152. ISSN 0025-5831. 2014년 9월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 19일에 확인함. 
  2. McLarty, Colin (2006). 〈Emmy Noether’s ‘set theoretic’ topology: from Dedekind to the rise of functors〉 (PDF). Jeremy Gray, José Ferreirós. 《The architecture of modern mathematics: essays in history and philosophy》 (영어). Oxford University Press. 211–35쪽. Zbl 1129.01010. 

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]