집합론에서 추이적 집합(推移的集合, 영어: transitive set)은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.
집합
에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle B\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cd02c9cd64eb0f5da297bfc4fb5b82239098c4)
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle A\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dce86da0107830a9a97287f9486d9b4ff022875)
![{\displaystyle \bigcup X\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e082c94ab4a9173d5d92b188fac373e84e96786)
![{\displaystyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6256d91cba6e46ac20b0d747e4cd0aacb2ef6712)
마찬가지로, 추이적 모임(영어: transitive class)을 정의할 수 있다.
집합
의 추이적 폐포(영어: transitive closure)는
를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.
![{\displaystyle \bigcup _{n=0}^{\infty }\operatorname {\overbrace {\bigcup \cdots \bigcup } ^{\mathit {n}}} X=X\cup \bigcup X\cup \bigcup \bigcup X\cup \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ae7e5c7c17d59cb815eea30638dd9937c60e57)
초추이적 집합[편집]
집합
에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합(영어: supertransitive set)이라고 한다.
- 임의의
에 대하여, 만약
또는
라면, ![{\displaystyle B\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cd02c9cd64eb0f5da297bfc4fb5b82239098c4)
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle A\cup {\mathcal {P}}(A)\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b992b3616957267dba6b53ec91ed061689e6cd)
초추이적 집합은 추이적 집합이다.
보다 일반적으로, 순서수
에 대하여, 다음과 같은 누적 위계
![{\displaystyle {\mathcal {P}}^{\alpha }(X)={\begin{cases}{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}^{\beta }(X))&\exists \beta \colon \beta +1=\alpha \\X\cup \bigcup _{\gamma <\alpha }{\mathcal {P}}^{\gamma }(X)&\nexists \beta \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6c24eeb26664a2d138771d8b6cf8828dc2816d)
를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을
-초추이적 집합(영어:
-supertransitive set)이라고 한다.
- 임의의
및 순서수
에 대하여, ![{\displaystyle {\mathcal {P}}^{\beta }(A)\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07a6db2b06c9354b50f4b5a3c7a9e4e372820a)
즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.
집합
의
-초추이적 폐포는
를 포함하는 가장 작은
-초추이적 집합이며, 다음과 같다.
![{\displaystyle X\cup Q(X)\cup Q(Q(X))\cup \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50f99f81ce174a8eeb29f71835b758b95580add)
![{\displaystyle Q(X)=\bigcup _{A\in X}\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}^{\beta }(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c087c74d125f84628ee930c7f6296c68da9db54d)
연산에 대한 닫힘[편집]
임의의 추이적 집합
에 대하여,
와
역시 추이적 집합이다.
임의의 추이적 집합들의 족
에 대하여,
와
역시 추이적 집합이다.
자명하지 않은 동형의 부재[편집]
추이적 모임과 원소 관계로 이루어진 구조 사이의 동형 사상은 항등 함수밖에 없다. 즉, 추이적 모임 사이의 전단사 함수
가
![{\displaystyle A\in B\in X\iff f(A)\in f(B)\in Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7ce74692300b67d4f58e5312005a85b37a6715)
를 만족시킨다면,
이며,
이다.[1]:67, Theorem 6.7 이는 정칙성 공리를 사용하여 보일 수 있다. 특히, 폰 노이만 전체는 자명하지 않은 자기 동형 사상을 갖지 않는다.
순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.
폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수
에 대하여
는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체
는 추이적 고유 모임이다.
구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수
에 대하여
는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체
은 추이적 고유 모임이다.
추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]