집합론에서 이름(영어: name)은 강제법에 등장하는, 집합의 개념의 일종의 일반화인 누적 위계이다. 집합의 경우 무언가가 집합의 원소인지 여부는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 원소인지 여부는 보다 일반적인 원순서 집합 또는 완비 불 대수의 원소에 따라 나타내어진다.
임의의 집합
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산
![{\displaystyle Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feedbe35c9d6b1b6cccae4b1c9aeed7b6f7faadc)
에 대한 누적 위계를
-이름 위계(영어: hierarchy of
-names)라고 하며,[1]:188, Definition VII.2.5
로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.
임의의 두 이름
에 대하여,
의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은
의 부분 집합으로 나타내어진다.
![{\displaystyle \{x\in X\colon (\sigma ,x)\in \tau \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8b1602a7b7a7342db844a7e3f170595d6f64a0)
즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수
대신 불 대수
로 나타내어진다.
임의의 순서수
에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.
![{\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Name} _{X,\alpha }\to {\mathcal {P}}(\operatorname {Name} _{X,\alpha })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a554334ddb8130ed7f937c00032cdaeb6316eb)
![{\displaystyle \operatorname {dom} (\tau )=\{\sigma \colon (\sigma ,x)\in X\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e92d631fcb18c8d65d7bf9f4b77fdbf66d59153)
원순서 집합
와
-이름
가 주어졌다고 하자. 또한, 함수
의 치역의 모든 원소가
의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.
![{\displaystyle \sigma =\{(\tau ',x)\colon \tau '\in \operatorname {dom} \tau ,\;x\in f(\tau ')\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8112229137425c2fe6ac205824d49bf9fca2cc)
이러한 꼴의 이름을
에 대한 좋은 이름(영어: nice name)이라고 한다.[1]:208, Definition VII.5.11
특히,
에 대한 좋은 이름
가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {dom} \sigma \subseteq \operatorname {dom} \tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d325ef37c08f2886cf840bb2aeb9c3462ecb48ac)
임의의 순서수
에 대하여,
는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수
에 대하여,
![{\displaystyle \operatorname {Name} _{f,\alpha }\colon N\mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{f,\beta }(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname {Name} _{X,\beta },\;\beta <\alpha \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b38303e6dabfa80086fc14498f27463d00d87f0)
이다.
보다 일반적으로,
이 집합과 이항 관계의 범주일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Rel} \to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7492b7f37281384c1e23d8fef8af04a0496ac93d)
![{\displaystyle \operatorname {Name} _{R,\alpha }\colon \sigma \mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{R,\beta }(\tau ),y\right)\colon (\tau ,x)\in \sigma ,\;(x,y)\in R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69bf6f4b2354ef54652fd44119e4c7d3d709b4c)
임의의 부분 집합
및 한원소 집합
에 대하여, 다음과 같은 이항 관계
를 생각하자.
![{\displaystyle (x,\bullet )\in R_{S}\iff x\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af87ddd2bf3d5bdf1ab82d8db0953fcc682dbebb)
그렇다면, 함수
![{\displaystyle \operatorname {Name} _{R_{S}}\colon \operatorname {Name} _{X}\to \operatorname {Name} _{\{\bullet \}}\cong V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cdfcb0adae4ebae8b6bc88345fbef0d312e8793)
를 생각하자. 이를
-이름의
-해석이라고 하며,
![{\displaystyle \operatorname {val} _{S}\colon \operatorname {Name} _{X}\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2e95d33f77d5a8b100d9fd4fd17e90e2f9642d)
로 표기한다.[1]:189, Definition VII.2.7
강제법에서,
는 포괄적 순서 아이디얼
를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.
이름의 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대하여 절대적이다.[1]:188, §VII.2 즉, ZFC의 표준 추이적 모형
및
및 집합
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \left(M\models (\tau \in \operatorname {Name} _{X})\right)\iff \tau \in \operatorname {Name} _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7b1de5623945f588038574784a6a412c490ba1)
다시 말해,
이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 절대적이다.[1]
ZFC의 표준 추이적 모형
및 원순서 집합
및 두 이름
에 대하여, 다음이 성립하는
-좋은 이름
가 존재한다.
![{\displaystyle \forall x\in X\colon x\Vdash (\mu \subseteq \sigma \implies \mu =\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5913d85561162bb3fade1db3c4f343151ba49379)
다시 말해, 임의의
의 포괄적 순서 아이디얼
및
및
에 대하여,
인
-좋은 이름
가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약
가
-좋은 이름일 때,
일 필요는 없다.[1]:209)
만약
가 공집합이라면
이다.
만약
가 한원소 집합이라면
는 멱집합 연산과 동형이며, 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이다. 이에 따라 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 여길 수 있다.