부분수열

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수학에서, 수열부분수열(部分數列) 또는 부분열(部分列, subsequence)은 그 수열의 일부 항을 원래 순서대로 나열해 얻을 수 있는 수열이다. 예를 들면 크기 순으로 나열된 양의 짝수 2, 4, 6, ...은 크기 순으로 나열된 자연수 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...의 부분수열이다. 수열을 이를테면 = {1, 2, 3, ...}에 정의된 함수로 생각할 때, 수열 {an}의 부분수열은, 어떤 순증가하는 자연수열 nk(따라서 n1 < n2 < n3 < …)를 사용해 {ank} 꼴로 표현할 수 있는 수열이다.[1]:267

정의[편집]

주어진 두 수열 {an}n∈ℕ, {bn}n∈ℕ에 대해, {bn}n∈ℕ{an}n∈ℕ의 부분수열이라는 것은,

을 임의의 n ∈ ℕ에 대해 성립시키는 강한증가함수 f : ℕ → ℕ이 존재한다는 것이다.[1]:120

수열을 다르게 정의하는 경우(예를 들어 정수 집합의 '구멍 없는' 부분집합을 정의역으로 하는 경우)도 비슷하게 정의 가능하다.

부분수열에 의한 관계[편집]

임의의 수열은 자기 자신의 부분수열이며, 수열의 부분수열의 부분수열은 여전히 그 수열의 부분수열이다.[1]:120 이는 부분수열 관계가 반사적이고 추이적이항관계, 즉 원순서임을 의미한다.

부분수열 관계는 반대칭적이지도 않아서 부분순서가 아니다. 예를 들어 두 수열

은 다른 수열이지만 서로가 서로의 부분수열이다. 비슷한 예로 아래 두 수열이 있다.

여기서 a, b, c, d, ...α, β, γ, δ, ...는 임의의 두 자연수열이다.

성질[편집]

  • 수열이 수렴할 필요충분조건은 모든 부분수열이 수렴한다는 것이다. 수열이 극한점을 가질 필요충분조건은, 극한값에 닿지 않고 수렴하는 부분수열이 존재한다는 것이다.
  • 모든 실수열은 단조 부분수열을 갖는다.
  • 유계 실수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다. (볼차노-바이어슈트라스 정리)

각주[편집]

  1. Tao, Terence (2008). 《陶哲轩实分析》 [테렌스 타오 실해석] (중국어). 번역 王昆扬 1판. 人民邮电出版社. ISBN 978-7-115-18693-5. 

바깥 고리[편집]