급수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 급수(級數, series, an)는 수열의 각 항을 더한 것이다. 더해지는 항은 그 개수가 유한하거나(유한급수, 有限級數, finite series), 무한하다(무한급수, 無限級數, infinite series). 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워질 때 급수가 수렴한다고 하고, 그렇지 않을 때 발산한다고 한다. 급수의 항은 수(실수, 복소수 등) 또는 다른 덧셈 가능한 대상(벡터, 행렬, 함수, 난수 등)일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘에 의해 표현된다. 유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다.

정의[편집]

자연수 첨수된 수열 \{a_n\}_{n=0}^{\infty}의 급수

\sum_{n=0}^{\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots

는, 결과값(급수의 )을 부여하지 않았을 때 단지 수열의 각 항의 형식적인 합이다. 급수에 합을 주기 위해, 아래와 같은 수열(급수의 부분합(部分和, partial sum))을 도입한다.

S_N = \sum_{n=0}^N a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_N,

급수의 합은 급수의 부분합의 열 S_N극한값으로 정의된다. 즉,

\sum_{n=0}^{\infty} a_n := \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n

다만 이러한 극한은 반드시 존재하는 것이 아니며, 극한이 존재해 합이 부여된 급수를 수렴한다고 하고, 극한이 존재하지 않아 합을 부여받지 못한 급수를 발산한다고 한다. 수렴성은 모든 항에 절댓값을 취해도 수렴하는지에 따라 다시 조건수렴절대수렴으로 분류된다.

가산첨수집합[편집]

X를 첨수집합, f:X\to\R를 함수라고 하자. 만약 X와 자연수 집합 \N 사이에 일대일 대응 g:\N \to X가 존재한다면(즉 X가산집합이라면), 모든 f(x),\ x\in X의 급수를 자연수 첨수에 기대 정의할 수 있다.

\sum_{x\in X} f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f(g(n))

이러한 정의가 g의 선택에 의존하지 않게 하려면, 급수가 적어도 하나의('모든'이라 해도 이와 동치이다) g에 대해 절대수렴하여야 한다. 조건수렴하는(따라서 절대수렴하지 않는) 급수는, 다른 값, 심지어 임의로 주어진 값에 수렴하도록 재배열할 수 있기 때문이다(리만 재배열정리).

임의의 첨수집합[편집]

X가 임의의, 특히 비가산인(즉 위에서 말한 g가 존재하지 않는) 첨수집합일 경우, 먼저 다음과 같이 음이 아닌 항의 급수의 합을 정의하는 것은 유용하다.

\sum_{x\in X} |f(x)| := \sup_{A\subseteq X,\ A\ \text{finite}} \left( \sum_{x\in A} |f(x)| \right) \le \infty ('finite'는 '유한'의 의미)

이는 물론 X가 가산집합일 경우 이전의 정의와 양립한다. 만약 이러한 합이 유한하다면, 집합

X' = \{x \in X : f(x)\ne 0\}

의 원소는 많아야 가산 개이다. 이는 집합

X'_n = \{x \in X : |f(x)| > \frac{1}{n}\}

의 원소 개수가 임의의 n에 대해 유한하고(많아야 Mn 개, M은 급수의 합), X'는 이러한 (가산 개의) X'_n의 합집합이기 때문이다. 이에 기초하여, 비가산집합에 의해 첨수된 급수를 다음과 같이 가산집합에 관한 정의로 귀결할 수 있다.

\sum_{x\in X} f(x) := \sum_{x\in X'} f(x)

수렴성[편집]

급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 수렴판정법이 존재한다.

절대수렴[편집]

급수 \sum_{n=0}^{\infty} a_n에 절대값을 취해 얻어진 또 다른 급수 \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|이 수렴한다면, 원래의 급수도 자동적으로 수렴하게 되며, 이때 원래 급수가 절대수렴한다고 한다. 절대수렴은 수렴을 함의하는 더 강한 의미의 수렴이다.

조건수렴[편집]

수렴하지만 절대수렴하지 않는 급수는 존재하며, 이러한 급수를 보고 조건수렴한다고 한다. 교대급수

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = 1 - \frac12 + \frac13 - \cdots

는 자기 자신은 수렴하나, 각 항에 절댓값을 취하면(조화급수) 발산하게 되는, 조건수렴급수의 예이다.

발산급수[편집]

수렴판정법[편집]

  • (n항판정법) 만약 limn→∞ an = 0이지 않으면, ∑an은 수렴한다.
  • (비교판정법) |an| ≤ |bn|이 궁극적으로 성립할 때, ∑bn이 절대수렴하면 ∑an도 절대수렴하며, ∑an이 절대수렴하지 않으면 ∑bn도 절대수렴하지 않는다.
  • (비판정법) 만약 언젠가부터 항상 |an + 1|/|an| < q이게끔 하는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an + 1|/|an| > q이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
  • (근판정법) 만약 언젠가부터 항상 |an|1/n < q이게끔 하는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an|1/n > q 이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
  • (적분판정법) 만약 f 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 f (n) = an(n = 1, ...)이면, ∑an
    1
    f (x)dx는 같이 수렴하거나 같이 발산한다.
  • (코시 응집판정법) an이 단조감소하며 음이 아닐 때, ∑an과 ∑2ka2k은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
  • (교대급수판정법) 만약 an이 단조감소하고 0으로 수렴한다면, ∑(-1)nan(교대급수)은 수렴한다.
  • (디니 판정법)

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]