급수

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수학에서, 급수(級數, 영어: series, an)는 수열의 모든 항을 더한 것이다. 항의 개수가 유한한 유한 급수(有限級數, 영어: finite series)와 항의 개수가 무한한 무한 급수(無限級數, 영어: infinite series)로 분류된다. 무한 급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수를 수렴 급수와 그렇지 않은 발산 급수로 분류된다. 급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다. 유한 급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한 급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다.

정의[편집]

수열 에 대한 (무한) 급수 는, 수열의 항들의 형식적인 합이다. 즉,

급수 부분합(部分合, 영어: partial sum) 은 처음 오는 유한 개의 항에 대한 합이다. 즉,

부분합이 수렴하는 급수를 수렴 급수, 부분합이 수렴하지 않는 급수를 발산 급수라고 한다. 수렴 급수 은, 그 부분합의 극한이며, 이 역시 로 표기한다. 즉,

모든 항에 절댓값을 취해도 수렴하는 수렴 급수를 절대 수렴 급수, 그렇지 않은 수렴 급수를 조건 수렴 급수라고 한다.

가산 첨수 급수[편집]

가산 무한 집합 및, 자연수 집합 사이의 일대일 대응 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 에 대한 급수 는 다음과 같이 정의된다.

다만, 이 정의가 유효하려면, 급수 의 합이 일대일 대응 의 선택에 의존하지 않아야 한다. 만약 급수가 적어도 하나의 에 대하여 절대 수렴한다면, 다른 모든 에 대해서도 절대 수렴하며, 의 합이 같다. 만약 급수가 적어도 하나의 에 대하여 조건 수렴한다면, 다른 합을 갖게 되는 가 존재하며, 나아가 리만 재배열 정리에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록 를 취할 수 있다.

임의 첨수 급수[편집]

임의의 집합(특히 비가산 집합) 가 주어졌다고 하자. 우선 음이 아닌 항의 급수 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

만약 의 합이 유한하다면, 집합

가산 집합이다. 이는

이며,

이므로, 이 가산 개 유한 집합의 합집합이기 때문이다. 이에 기초하여, 함수 에 대한 급수 는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다.

수렴성[편집]

급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 수렴 판정법이 존재한다.

발산 급수[편집]

수렴 급수가 아닌 급수를 발산 급수라고 한다.

예를 들어, 영이 아닌 상수항 급수

는 발산 급수이다.

조건 수렴[편집]

절대 수렴 급수가 아닌 수렴 급수를 보고 조건 수렴 급수라고 한다.

예를 들어, 교대 급수

는 자기 자신은 수렴 급수이나, 절댓값을 취한 조화 급수는 발산 급수이므로, 조건 수렴 급수이다.

절대 수렴[편집]

급수 에 항별로 절댓값을 취한 급수 이 수렴 급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴 급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 절대 수렴 급수라고 한다.

예를 들어, 기하 급수

는 자기 자신이 수렴 급수이며, 절댓값을 취한

도 수렴 급수이므로, 절대 수렴 급수이다.

수렴 판정법[편집]

  • (n항판정법) 만약 limn→∞ an = 0이지 않으면, ∑an은 발산한다.
  • (비교판정법) 궁극적으로 |an| ≤ |bn|인 경우, ∑bn이 절대수렴하면 ∑an도 절대수렴하며, ∑an이 절대수렴하지 않으면 ∑bn도 절대수렴하지 않는다.
  • (비판정법) 만약 궁극적으로 |an + 1|/|an| < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an + 1|/|an| > q이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
  • (근판정법) 만약 궁극적으로 |an|1/n < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an|1/n > q 이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
  • (적분판정법) 만약 f 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 f (n) = an(n = 1, 2, ...)이면, ∑an
    1
    f (x)dx는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
  • (코시 응집판정법) an이 음이 아니며 단조감소하는 경우, ∑an과 ∑2ka2k은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
  • (교대급수판정법) 만약 an이 단조감소하며 0으로 수렴한다면, ∑(-1)nan은 수렴한다.
  • (디니 판정법)

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]