Z변환

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수학이나 신호 처리에서 Z 변환(Z-transform)은 실 수열 또는 복소 수열로 나타나는 시간 영역의 신호를 복소 주파수 영역의 표현으로 변환한다.

Z 변환은 연속 시간 신호에 대한 라플라스 변환에 대응하는 이산 시간 영역에서의 변환으로 볼 수 있다.

역사[편집]

Z 변환에 대한 기본적인 생각은 라플라스도 알고 있었고, 1947년에 W. Hurewicz에 의해 선형 상수 계수 차분 방정식을 푸는 유용한 수단으로 다시 알려졌다.[1] Z 변환이라는 이름은 1952년에 콜롬비아 대학의 sampled-data control group에 속한 RagazziniZadeh로 부터 유래되었다.[2][3]

고등 Z 변환은 후에 Jury에 의해 개발되고 대중화 되었다.

정의[편집]

다른 적분 변환들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.

양방향 Z 변환[편집]

연속시간 신호 의 양방향 Z 변환은 로 표현되는 formal power series로, 다음과 같이 정의된다.

여기서 은 정수이고 는 일반적으로 복소수 이다. 즉, 복소수의 크기 허수 단위 , 그리고 편각 를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

단방향 Z 변환[편집]

만약 에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.

이러한 정의는 신호 처리에서 이산 시간 causal system단위 펄스 응답의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다.

예제[편집]

다음과 같은 신호를 생각해 보자.

그러면 의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.


다음과 같은 신호를 생각해 보자.

그러면 의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.


성질[편집]

선형성 (Linearity)[편집]

두 이산 시간 신호 , 의 Z 변환을 각각 , 라 두면, 상수 , 에 대해 의 Z 변환은 다음과 같다

시간에 대한 평행 이동 (Time shifting)[편집]

양방향 Z 변환의 경우[편집]

이산 시간 신호 의 Z 변환을 라 두면 정수 에 대해 의 Z 변환은 다음과 같다.

단방향 Z 변환의 경우[편집]

단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 인 경우

인 경우

Z 역변환[편집]

Z 역변환은 다음과 같이 구해진다.

여기서 는 원점을 반시계방향으로 둘러 싸면서 수렴 반경 안에 있는 닫힌 경로이다.


하지만 라플라스 역변환의 경우와 유사하게 대부분의 경우 Z 역변환은 부분분수 분해를 통해 구해진다. 예를 들어 다음과 같은 Z 변환을 생각하자.

부분분수 분해를 통해 는 다음과 같이 표현된다.

따라서, 이고 Z 변환의 선형성으로부터 은 다음과 같이 구해진다.

수렴 반경[편집]

응용[편집]

차분방정식의 풀이[편집]

다음과 같이 주어진 상수 계수를 갖는 선형 차분방정식을 생각하자.

양변에 Z 변환을 취하면 다음을 얻는다.

따라서, 이다.

Z 변환 표[편집]

같이 보기[편집]

참고문헌[편집]

  1. Kanasewich, E. R. (1981). 《Time Sequence Analysis in Geophysics》 3판. University of Alberta. 185–186쪽. ISBN 978-0-88864-074-1. 
  2. Ragazzini, J. R.; Zadeh, L. A. (1952). “The analysis of sampled-data systems”. 《Trans. Am. Inst. Elec. Eng.》 71 (II): 225–234. 
  3. Leondes, C. T. (1996). 《Digital Control Systems Implementation and Computational Techniques》. Academic Press. 123쪽. ISBN 978-0-12-012779-5. 
  1. Kamen, E.; Heck, B. (2000), Fundamentals of Signals and Systems: With MATLAB Examples (2nd ed.); Prentice Hall; ISBN 0130172936, 9780130172938.
  2. Ingle, V. K.; Proakis, J. G. (2007), Digital Signal Processing Using Matlab (2nd ed., Int. Stud. Ed.); Thomson.
  3. Nekoogar, F. and Moriarty, G. (1999), Digital control using digital signal processing; Prentice Hall.