스튀름-리우빌 이론

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수학에서, 스튀름-리우빌 이론(영어: Sturm–Liouville theory)은 2차 선형 미분 방정식을 다루는 이론이다. 자크 샤를 프랑수아 스튀름조제프 리우빌의 이름을 땄다. 물리학에 널리 응용된다.

정의[편집]

미지의 함수 에 대한, 다음과 같은 모양의 선형 상미분 방정식스튀름-리우빌 방정식(Sturm–Liouville equation)이라고 한다.

이 방정식은 선형 방정식이므로, , 의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. 스튀름-리우빌 문제는 해의 공간이 0차원이 아닌 들의 값을 구하는 문제이다. 즉, 이는 미분작용소

고윳값을 구하는 문제이다.

성질[편집]

이 형태의 미분방정식은 그 해로 주어지는 함수가 서로 다른 고유치에 대해 직교성을 가지는 성질이 있다.

모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, y스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)

2차 선형 미분 방정식의 스튀름-리우빌 형태로의 환원[편집]

알반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.

양변을 P(x)로 나누고, 다시 양변에 적분 인자

를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

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베셀 방정식

은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.

르장드르 방정식은,

쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다. D(1 − x2) = −2x 이기 때문이다. 따라서, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.

좀 더 복잡한 예로 다음 미분 방정식을 생각하자.

양변을 x3으로 나누고:

다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.

그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.

이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,

이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분방정식과 같다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]