스튀름-리우빌 연산자

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상미분 방정식 이론에서, 스튀름-리우빌 연산자(Sturm-Liouville演算子, 영어: Sturm–Liouville operator)는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식스튀름-리우빌 방정식(Sturm-Liouville方程式, 영어: Sturm–Liouville equation)이라고 하며, 이에 대한 이론을 스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville理論, 영어: Sturm–Liouville theory)이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다.

정의[편집]

실수의 닫힌구간 이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.

여기서

  • 는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다.
  • 연속 함수이다.
  • 는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 무게 함수 영어: weight function라고 한다.)

닫힌구간 위의 로뱅 경계 조건(Robin境界條件, 영어: Robin boundary condition)이란 위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.

여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.

  • 또는 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 또는 가운데 하나 이상이 0이 아니다.

즉, 는 각각 실수 사영 직선 의 두 점의 동차 좌표를 이룬다.

로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간

위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.

스튀름-리우빌 연산자 고유 함수 방정식

즉 선형 상미분 방정식

스튀름-리우빌 방정식(영어: Sturm–Liouville equation)이라고 한다. 이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로, , 의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. 스튀름-리우빌 문제는 스튀름-리우빌 미분 연산자고윳값을 구하는 문제이다.

성질[편집]

고윳값과 고유 함수[편집]

위의 무게 함수

에 대한 스튀름-리우빌 연산자

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.

각 고윳값 에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간 속에서 정확히 개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합 은 (의 내적에 따라 정규화하였을 때) 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

2차 선형 미분 방정식의 스튀름-리우빌 형태로의 환원[편집]

모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, y스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)

일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.

양변을 P(x)로 나누고, 다시 양변에 적분 인자

를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

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베셀 방정식[편집]

베셀 방정식

은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.

즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는

이다.

르장드르 방정식[편집]

르장드르 방정식

은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다.

이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.

즉, 은 스튀름-리우빌 연산자

의 고윳값이다.

더 복잡한 2차 상미분 방정식[편집]

좀 더 복잡한 예로 다음 상미분 방정식을 생각하자.

양변을 x3으로 나누고

다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.

그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.

이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,

이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.

즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다.

역사[편집]

자크 샤를 프랑수아 스튀름조제프 리우빌의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]