행렬의 합동

선형대수학에서, 행렬의 합동(合同, 영어: congruence)은 두 행렬이 같은 이차 형식의 서로 다른 기저에 대한 표현임을 나타내는 관계이다.

정의

체 $K$ 위의 두 $n\times n$ 행렬 $A,B\in \operatorname {Mat} (n;K)$에 대하여, 만약 다음을 만족시키는 가역 행렬 $P\in \operatorname {GL} (n;K)$가 존재한다면, $A,B$가 서로 합동이라고 한다.

$P^{\top }AP=B$

여기서 $(-)^{\top }$는 전치 행렬이다. 행렬의 합동은 동치 관계를 이룬다.

예

대칭 행렬

표수가 2가 아닌 체 $K$를 원소로 하는 대칭 행렬 $A\in \operatorname {Mat} (n;K)$은 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 $P\in \operatorname {GL} (n;K)$가 존재한다.

$P^{\top }AP={\begin{pmatrix}d_{1}\\&\ddots \\&&d_{r}\\&&&0\\&&&&\ddots \\&&&&&0\end{pmatrix}}\qquad (d_{i}\neq 0,\;0\leq r\leq n)$

0이 아닌 대각 원소의 개수 $r$는 $A$의 계수와 같다.

증명 (행렬의 언어를 사용하여 서술):

행렬의 크기에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

우선, $1\times 1$ 행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이다.

이제, $(n-1)\times (n-1)$ 행렬에 대하여 성립한다고 가정하고 $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여 성립함을 증명하자. 영행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이므로, $A\neq 0$인 경우만을 생각하자. 그렇다면, $A_{ij}\neq 0$인 $1\leq i,j\leq n$이 존재한다. 만약 $i\neq j$라면, $A$의 $i$번째 행에 $j$번째 열을 더한 뒤, 다시 $i$번째 열에 $j$번째 열을 더하여 얻는 행렬 $(I+E_{ij})^{\top }A(I+E_{ij})$은 원래 행렬과 합동이며, $i$번째 대각 원소는 $2A_{ii}$이며, 체의 표수가 2가 아니므로 $2A_{ii}\neq 0$이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 $i=j$라고 할 수 있다. 만약 $i\neq 1$이라면, $A$의 1번째 행과 $i$번째 행을 교환한 뒤, 1번째 열과 $i$번째 행을 교환하여 얻는 행렬 $(I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})^{\top }A(I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})$은 원래의 행렬과 합동이며, 1번째 대각 원소가 $A_{ii}\neq 0$이므로, 일반성을 잃지 않고 $i=1$라고 할 수 있다. 즉, $A$가 $A_{11}\neq 0$를 만족시킨다고 보아도 무방하다. 이제 다시 다음과 같은 일련의 기본 행 연산의 합성을 생각하자.

$P=I-\sum _{i=2}^{n}A_{11}^{-1}A_{i1}E_{i1}$

그렇다면, $P^{\top }AP$는 원래 행렬과 합동이며,

$0=(P^{\top }AP)_{12}=\cdots =(P^{\top }AP)_{1n}=(P^{\top }AP)_{21}=(P^{\top }AP)_{n1}$

이 성립한다. 또한, 그 오른쪽 아래의 부분 행렬 $((P^{\top }AP)_{ij})_{i,j=2}^{n}$은 $(n-1)\times (n-1)$ 행렬이므로 수학적 귀납법의 가정에 따라 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 $d_{2},\dots ,d_{n}\in K$ 및 $Q\in \operatorname {GL} (n-1;K)$가 존재한다.

$Q^{\top }((P^{\top }AP)_{ij})_{i,j=2}^{n}Q=\operatorname {diag} (d_{2},\dots ,d_{n})$

따라서, $A$는 다음과 같은 대각 행렬과 합동이다.

${\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}}^{\top }P^{\top }AP{\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}1\\&Q^{\top }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{11}\\&(P^{\top }AP)_{22}&\cdots &(P^{\top }AP)_{2n}\\&\vdots &\ddots &\vdots \\&(P^{\top }AP)_{n2}&\cdots &(P^{\top }AP)_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}A_{11}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{n}\end{pmatrix}}$

증명 (쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술):

대칭 쌍선형 형식 $B\colon V\times V\to K$가 있다고 하자. 증명하려는 바는 $B(u_{i},u_{j})=0$ ($1\leq i<j\leq n$)인 기저 $\{u_{1},\cdots ,u_{n}\}$의 존재이다.

벡터 공간의 차원에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

1차원의 경우는 자명하다.

$(n-1)$차원의 경우에 대하여 성립한다고 가정하고, $n$차원의 경우에 대하여 증명하자. $B=0$인 경우는 자명하므로, $B\neq 0$의 경우만을 생각하자. 이 경우, $B(u_{1},u_{1})\neq 0$인 $0\neq u_{1}\in V$가 존재한다. (그렇지 않다면, $B(u+v,u+v)=B(u,u)+2B(u,v)+B(v,v)$이며 $K$의 표수가 2가 아님에 따라 $B=0$이므로 모순이다.) 그렇다면, $B$를 직교 여공간

$(\operatorname {Span} \{u_{1}\})^{\perp }=\{v\in V\colon B(u_{1},v)=0\}$

에 제한시켰을 때 여전히 쌍선형 형식을 이루므로, 수학적 귀납법의 가정에 따라, $B(u_{i},u_{j})=0$ ($2\leq i<j\leq n$)인 $(\operatorname {Span} \{u_{1}\})^{\perp }$의 기저 $\{u_{2},\dots ,u_{n}\}$이 존재한다. 또한, 직교 여공간의 정의에 따라,

$0=B(u_{1},u_{2})=\cdots =B(u_{1},u_{n})$

이며, $\{u_{1},\dots ,u_{n}\}$는 $V$의 기저를 이룬다.

증명 (이차 형식의 언어를 사용하여 서술):

이차 형식이 0인 경우 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이므로, 0이 아닌 이차 형식에 대하여 증명하면 된다.

체 $K$의 표수가 2가 아니므로, 그 위의 이차 형식은 다음과 같은 꼴이다.

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\qquad (a_{ij}=a_{ji}\in K)$

이차 형식의 변수의 개수 $n$에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

1변수의 경우, 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이다.

$(n-1)$변수에 대하여 성립한다고 가정하고 $n$변수에 대하여 증명하자. 만약 계수가 0이 아닌 제곱항을 가진다면, 일반성을 잃지 않고 $a_{11}\neq 0$라고 하자. 그렇다면, 이차 형식을 다음과 같이 변형할 수 있다.

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}&=a_{11}x_{1}^{2}+2x_{1}\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\\&=a_{11}\left(x_{1}^{2}+2a_{11}^{-1}x_{1}\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}+a_{11}^{-2}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}-a_{11}^{-2}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}\right)+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\\&=a_{11}\left(x_{1}+a_{11}^{-1}\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}-a_{11}^{-1}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\end{aligned}}$

오른쪽의

$-a_{11}^{-1}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$

는 $(n-1)$변수 이차 형식이므로, 제곱합이 되는 가역 변수 변환이 다음과 같이 존재한다.

$x_{2}=\qquad b_{22}y_{2}+\cdots +b_{2n}y_{n}$

$\vdots$

$x_{n}=\qquad b_{n2}y_{2}+\cdots +b_{nn}y_{n}$

또한, 변수 $y_{1}$를 다음과 같이 정의하자.

${\begin{aligned}x_{1}&=y_{1}-a_{11}^{-1}a_{12}x_{2}+\cdots +a_{11}^{-1}a_{1n}x_{n}\\&=y_{1}+c_{2}y_{2}+\cdots +c_{n}y_{n}\end{aligned}}$

그렇다면, 이러한 변수 변환은 가역 변환이며, 원래의 이차 형식을 제곱합으로 만든다.

만약 모든 제곱항의 계수가 0이라면, 이차 형식이 0이 아니라고 전제하였으므로, 일반성을 잃지 않고 $a_{12}\neq 0$이라고 하자. 그렇다면, 가역 변수 변환

$x_{1}=y_{1}+y_{2}$

$x_{2}=y_{1}-y_{2}$

$x_{3}=y_{3}$

$\vdots$

$x_{n}=y_{n}$

을 통해 원래의 이차 형식은

$2a_{12}(y_{1}^{2}-y_{2}^{2})+\sum _{1\leq i<j\leq n\colon (i,j)\neq (1,2)}a_{ij}x_{i}x_{j}$

로 바뀌며, 이는 계수가 0이 아닌 제곱항이 있는 이차 형식이므로 다시 가역 변수 변환을 통해 제곱합으로 만들 수 있다.

표수가 2가 아닌 체 위의 대칭 행렬에 일련의 서로 전치 기본 행 연산의 쌍들을 가하여 그와 합동인 대각 행렬로 만들 수 있다. 실수 대칭 행렬의 경우 고윳값을 대각 원소로 하는 대각 행렬을 취하면 된다.

복소수 대칭 행렬

복소수 대칭 행렬 $A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )$는 1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 동치이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 $P\in \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )$가 존재한다.

$P^{\top }AP={\begin{pmatrix}\left.{\begin{matrix}1\\&\ddots \\&&1\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle r}\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{pmatrix}}\qquad (0\leq r\leq n)$

1의 개수 $r$는 합동의 완전한 불변량이다.

실수 대칭 행렬

실수 대칭 행렬 $A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )$는 1, -1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 $P\in \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )$가 존재한다.

$P^{\top }AP={\begin{pmatrix}\left.{\begin{matrix}1\\&\ddots \\&&1\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle p}\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left.{\begin{matrix}-1\\&\ddots \\&&-1\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle q}\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{pmatrix}}\qquad (0\leq p,q\leq p+q\leq n)$

1의 개수 $p$와 -1의 개수 $q$는 합동의 완전한 불변량이다. 이를 실베스터 관성 법칙이라고 한다.

증명 (쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술):

대칭 쌍선형 형식 $B\colon V\times V\to K$가 다음을 만족시키는 기저 $\{u_{1},\dots ,u_{n}\}$를 갖는다고 하자.

$B(u_{1},u_{1})=\cdots =B(u_{p},u_{p})=1$

$B(u_{p+1},u_{p+1})=\cdots =B(u_{r},u_{r})=-1$

$B(u_{i},u_{j})=B(u_{r+1},u_{r+1})=\cdots =B(u_{n},u_{n})=0\qquad (1\leq i<j\leq n)$

다음을 보이는 것으로 족하다.

$p=\max\{\dim W\colon W\subset V,\;B(u,u)>0\forall 0\neq u\in W\}$

우선, $B$는 $\operatorname {Span} \{u_{1},\dots ,u_{p}\}$에 제한시켰을 때 양의 정부호 형식이며, $\operatorname {Span} \{u_{p+1},\dots ,u_{r}\}$에 제한시켰을 때 음의 정부호 형식임은 자명하다.

이제, $B|_{W\times W}$가 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간 $W\subset V$를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\operatorname {Span} \{u_{p+1},\dots ,u_{r}\}\oplus \operatorname {rad} B\oplus W$

이는 만약 $u\in \operatorname {Span} \{u_{p+1},\dots ,u_{r}\}$이며 $v\in \operatorname {rad} B$이며 $w\in W$이며 $u+v+w=0$이라면,

$B(u,u)\leq 0\leq B(w,w)$

$0=B(u-w,u+v+w)=B(u,u)-B(w,w)$

이므로, $B(u,u)=B(w,w)=0$이며,$u=w=0=v$이기 때문이다. 따라서 $p\geq \dim W$이다. 또한 $B|_{\operatorname {Span} \{u_{1},\dots ,u_{p}\}\times \operatorname {Span} \{u_{1},\dots ,u_{p}\}}$ 역시 양의 정부호 형식이므로, $p$는 $B$의 제한이 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간의 최대 차원이며, $p$는 유일하다.

증명 (이차 형식의 언어를 사용하여 서술):

귀류법을 사용하여, 두 이차 형식

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{r}^{2}$

$R(y_{1},\dots ,y_{n})=y_{1}^{2}+\cdots +y_{p'}^{2}-y_{p'+1}^{2}-\cdots -y_{r}^{2}$

이 서로 동치이며, $p>p'$라고 가정하자. 또한, 이 둘 사이의 가역 선형 변환이 다음과 같다고 하자.

$y_{1}=P_{11}x_{1}+\cdots +P_{n1}x_{n}$

$\vdots$

$y_{n}=P_{1n}x_{1}+\cdots +P_{nn}x_{n}$

그렇다면, $p>p'$이므로, 연립 일차 방정식

$0=P_{11}x_{1}+\cdots +P_{n1}x_{p}$

$\vdots$

$0=P_{1q}x_{1}+\cdots +P_{nq}x_{p}$

은 0이 아닌 해 $(x_{1}^{(0)},\dots ,x_{p}^{(0)})$를 가진다. 이 경우,

$0<Q(x_{1}^{(0)},\dots ,x_{p}^{(0)},0,\dots ,0)=R((x_{1}^{(0)},\dots ,x_{p}^{(0)},0,\dots ,0)P)\leq 0$

이며, 이는 모순이다.

반대칭 행렬

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 반대칭 행렬 $A\in \operatorname {Mat} (n;K)$는 $A\in \operatorname {Mat} (n;K)$는 몇 개의 $2\times 2$ 행렬 $((0,1),(-1,0))$과 하나의 영행렬의 직합과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 $P\in \operatorname {GL} (n;K)$가 존재한다.^:377

$P^{\top }AP={\begin{pmatrix}\left.{\begin{matrix}{\begin{matrix}&1\\-1\end{matrix}}\\&\ddots \\&&\ddots \\&&&{\begin{matrix}&1\\-1\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle 2k}\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{pmatrix}}\qquad (0\leq 2k\leq n)$

같이 보기

• 행렬의 닮음

외부 링크

• “Congruent matrices”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Congruent matrices”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Definition:Matrix congruence”. 《ProofWiki》 (영어).