추상대수학에서 군환(群環, 영어: group ring 그룹링[*])은 군의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군과 환의 구조를 가진다.
집합
와 환
가 주어졌을 때,
로부터 생성되는
-자유 가군을 다음과 같이 표기하자.
![{\displaystyle R[G]=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}g\qquad r\in R^{G},\;|\{g\in G\colon r_{g}\neq 0\}|<\aleph _{0}\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53599bf8e7b1925605c6a9f82927fcd53bcfbf3d)
가 유한 개의 대상(및 유한 또는 무한 개의 사상)을 갖는 작은 범주이며,
가 환이라고 하자. 그렇다면,
의 사상의 집합
으로부터 생성되는
-자유 가군
위에 다음과 같은
-선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.
![{\displaystyle f\cdot g={\begin{cases}g\circ f&\operatorname {dom} g=\operatorname {codom} f\\0&\operatorname {dom} g\neq \operatorname {codom} f\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23f5b553dd6b38ab9f417265560eedcfecd3ad3)
즉, 다음과 같다.
![{\displaystyle (r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\cdots +r_{m}f_{m})\cdot (s_{1}g_{1}+s_{2}g_{2}+\cdots +s_{n}g_{n})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}r_{i}s_{j}(f_{i}\cdot g_{j})\qquad \left(r_{i},s_{j}\in R,\;f_{i},g_{j}\in \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f188d02696633af65e783ec0ea5c7c6805ffd5)
이 곱셈은 결합 법칙 및 분배 법칙을 따르며, 항등원
![{\displaystyle 1_{R[{\mathcal {C}}]}=\sum _{X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}\operatorname {id} _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c378fba48fcef3c3b11cdf02aa008da961f4a2)
을 가진다. (만약
가 무한 개의 대상들을 갖는다면, 곱셈 항등원이 존재하지 않게 된다.) 따라서, 이는 환을 이루며, 이를
위의 범주환(영어: category ring)
이라고 한다.
특히, 만약
가 하나의 대상만을 갖는다면, 이는 모노이드로 여길 수 있다. 이 경우 범주환을 모노이드 환(영어: monoid ring)이라고 한다. 만약 추가로
가 군이라면, 이 경우 범주환을 군환이라고 한다.
모노이드
에 대한
계수 모노이드 환은 자연스럽게
-쌍가군의 구조를 가진다. 이는 왼쪽 자유 가군이자 오른쪽 자유 가군이다.
가 체
일 경우, 군환
는 벡터 공간을 이룬다. 이 경우,
의 차원은
이다. (이는
가 무한 반군일 경우에도 하멜 차원(Hamel dimension)으로서 성립한다.)
군의 가군[편집]
군
위의 가군(영어: G-module)은 그 정수 계수의 군환
의 가군이다. 이는 군 표현을 일반화한 개념이며, 군 코호몰로지에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군
는 아벨 군
과 군의 작용
으로 이루어져 있으며,
,
에 대하여
을 만족시킨다.
유한군
와 체
가 주어졌고, 또
![{\displaystyle \operatorname {char} K\nmid |G|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9865c96f43c966e1a9d8c470af6f697779340166)
라고 하자. (즉,
의 크기는
의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환
를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원
-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환
는 반단순환이다. 즉, 모든 왼쪽 또는 오른쪽
-가군은 반단순 가군이다.
이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다.[1][2]
다항식환[편집]
자연수의 덧셈 모노이드
를 생각하자. 이는 곱셈 표기법으로
로 적을 수 있다. 임의의 환
에 대하여, 모노이드 환
은 다항식환
와 같다.
마찬가지로, 무한 순환군
위의 군환은 다음과 같다.
![{\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (\infty )]\cong R[x,x^{-1}]=R[x,y]/(xy-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840fa174a54aef4a27158dc246d994845e634aef)
마찬가지로, 유한 순환군
위의 군환은 다음과 같다.
![{\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (n)]\cong R[x]/(x^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa07bf63bb7b000b54de0d5c385ad1040641fdca)
행렬환[편집]
집합
에 대하여, 순서쌍 준군
는 다음과 같은 준군이다.
- 대상은
의 원소이다. 즉, 대상 집합은
이다.
- 임의의 두 대상
에 대하여 유일한 사상
이 존재한다. 따라서, 사상 집합은 순서쌍으로 구성된 곱집합
로 생각할 수 있다.
만약
가 크기
의 유한 집합일 때, 임의의 환
에 대하여 준군환
는 행렬환
와 동형이다.
함수환[편집]
유한 집합
위의 이산 범주 (모든 사상이 항등 사상인 범주) 위의 범주환
는
위의
값의 함수들의 환
이다.
- Passman, D. S. (1976년 3월). “What is a group ring?” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 (영어): 173–185. doi:10.2307/2977018. JSTOR 2977018. Zbl 0318.16002.
- Gilmer, R. (1984). 《Commutative semigroup rings》 (영어). University of Chicago Press.
- Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). 《An introduction to group rings》. Algebras and applications (영어) 1. Springer. ISBN 978-1-4020-0238-0.
- Passman, D. S. (1977). 《The algebraic structure of group rings》 (영어). Wiley.
외부 링크[편집]