계수-퇴화차수 정리

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선형대수학에서, 계수-퇴화차수 정리(영어: rank-nullity theorem)는 행렬차원의 관계에 대한 정리이다.

정의[편집]

선형 변환 정의역 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음의 계수-퇴화차수 정리가 성립한다.

여기서 차원이며, 이며, 이다. 상의 차원을 계수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

핵의 차원을 퇴화차수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

그렇다면, 계수-퇴화차수 정리를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.[1]

증명[편집]

사실, 계수-퇴화차수 정리는 벡터 공간제1 동형 정리

의 자명한 따름정리이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다.[1] 이라고 하자. 의 기저 ()를 취한 뒤, 이를 확장하여 의 기저 을 만들자. 정리를 증명하려면, 의 기저를 이룸을 보이는 것으로 족하다. 이를 보이려면, 다음 두 명제를 증명하기만 하면 된다.

  • 선형 독립이다.
    • 증명: 이며 라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 이며, 의 정의에 따라 이다. 의 기저이므로, 가 존재한다. 따라서, 인데, 의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 이며, 특히 이다.
  • 선형 생성한다.
    • 증명: 라고 하자. 그렇다면, 의 정의에 따라 가 존재한다. 이 는 기저 의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, 가 존재한다. 따라서 인데, 이므로, 이다. 즉, 이다. 즉, 임의의 의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

이에 따라, 의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. 71쪽. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크[편집]