회전변환행렬

좌표평면상에서 회전변환행렬을 응용한 폰트 그래픽의 회전(90º및 180º)

선형 변환에서 회전변환행렬(Rotation matrix)은 임의의 행렬을 원점을 중심으로 회전시킨다.

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

회전변환행렬(Rotation matrix)은 선형 변환의 성질중 하나이며, 동시에 여러 회전변환행렬중 일부는 대칭변환행렬 즉 반사행렬(Reflection matrix)과 관련이 있다.

정의

원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 두 선분을 예약하고, $P=(x,y)\;\;,\;\;P'=(x',y')$ ${\overline {OP}}=l={\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}$ 두 점 사이의 거리, ${\overline {OP}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $cos\alpha ={{x} \over {\overline {OP}}}$ ${{x} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={cos\alpha }$ 그리고, $sin\alpha ={{y} \over {\overline {OP}}}$ ${{y} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={sin\alpha }$ 그리고, $P'=(x',y')$는 $P=(x,y)$를 $+\theta$만큼 회전시킨 것이다. $x'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}cos(\alpha +\theta )}$ $y'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}sin(\alpha +\theta )}$ 삼각함수의 덧셈정리에서, $x'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}cos(\alpha +\theta )}$는, $x'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}(\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta )}$ $x'=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{{x} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\cos \theta \right)-\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{{y} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\sin \theta \right)$ $x'={x}\cos \theta -{y}\sin \theta$ $y'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}sin(\alpha +\theta )}$는, $y'={{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}(\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta )}$ $y'=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{{y} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\cos \theta \right)+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{{x} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\sin \theta \right)$ $y'={y}\cos \theta +{x}\sin \theta$ x,y 순서로 정리하면, $y'={x}\sin \theta +{y}\cos \theta$ 연립방정식 형태로 나타내면, ${x}\cos \theta -{y}\sin \theta =x'$ ${x}\sin \theta +{y}\cos \theta =y'$ 따라서, ${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$

컴퓨터그래픽 응용

비트맵 글꼴과 외곽선 글꼴에서 회전변환행렬은 유용한 정보처리를 표현한다.

예

점(3,5)를 원점을 중심으로 90º회전시켰을때, 삼각함수로부터 그 값을 예상해보면,

${\begin{pmatrix}\cos 90^{\circ }&-\sin 90^{\circ }\\\sin 90^{\circ }&\cos 90^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(0\cdot 3)+(-1\cdot 5)\\(1\cdot 3)+(0\cdot 5)\end{pmatrix}}$

따라서, ${\begin{pmatrix}(0)+(-5)\\(3)+(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5\\3\end{pmatrix}}$

같이 보기

• 대칭변환행렬
• 닮음변환행렬
• 변환행렬

참고

• Nearing, James (2010). 〈Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors〉 (PDF). 《Mathematical Tools for Physics》. ISBN 048648212X. 2012년 1월 1일에 확인함. 
• The Matrix Page Practical examples in POV-Ray
• Reference page - Rotation of axes