닮음 (기하학)

닮은 도형들은 같은 색이 칠해져 있다.

기하학에서 닮음(영어: similarity)은 유클리드 공간의 모든 각을 보존하며 모든 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 아핀 변환이다. 모든 닮음은 고정점을 가지는 닮음과 등거리 변환의 합성으로 나타낼 수 있다. 평행 이동, 회전, 반사 등이 이러한 등거리 변환이 될 수 있다.

두 도형의 하나에 닮음에 대한 상을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면 이 두 도형을 서로 닮음이라고 한다. 닮음 도형은 모양은 같거나 거울상이되 크기는 다를 수 있다. 예를 들어, 두 삼각형이 서로 닮음일 필요충분조건은 세 대응각의 크기가 각각 같고, 세 대응변의 길이의 비가 모두 같다.

위상수학에서는 더 나아가 구와 원뿔과 원기둥과 정육면체를 닮은 도형으로 간주한다. 정확하게는 위상동형(homeomorphism) 관계의 도형이다. 두 원, 두 직각이등변삼각형, 변의 개수 혹은 각의 개수가 같은 두 정다각형, 중심각의 크기 혹은 호의 길이가 같은 두 부채꼴, 두 구, 면의 개수가 같은 두 정다면체 등은 모두 항상 닮음이다. 또, 닮음의 조건(위)를 나타내면 SSS 닮음(세 변의 길이의 비가 각각 같다.), SAS 닮음(두 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같다.), AA 닮음(두 각의 크기가 같다, 삼각형의 내각의 합은 180도이므로 두 각의 크기가 같으면 나머지 한 각의 크기도 구할 수 있다.)이다.

정의

양의 실수 $k\in \mathbb {R} ^{+}$가 주어졌다고 하자.

비 $k$의 닮음(영어: similarity with ratio $k$)는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $S\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$이다.

• 임의의 $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, $\Vert S(\mathbf {x} )-S(\mathbf {y} )\Vert =k\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert$

이는 유클리드 공간의 가역 아핀 변환을 이룬다.^:171

중심닮음

중심닮음을 취한 오각형

점 $\mathbf {x} _{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ 및 실수 $k\in \mathbb {R}$가 주어졌다고 하자.

중심 $\mathbf {x} _{0}$ 및 비 $k$의 중심닮음(호모세티)(영어: central similarity (homothety) with center $\mathbf {x} _{0}$ and ratio $k$)은 다음과 같은 함수이다.

$H_{\mathbf {x} _{0},k}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$

$H_{\mathbf {x} _{0},k}\colon \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} _{0}+k(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\qquad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$

성질

아핀 변환 $S\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^:172

• $S$는 닮음이다.
• (각의 보존) 임의의 $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, $\textstyle {\frac {S(\mathbf {x} )\cdot S(\mathbf {y} )}{\Vert S(\mathbf {x} )\Vert \Vert S(\mathbf {y} )\Vert }}={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\Vert \mathbf {x} \Vert \Vert \mathbf {y} \Vert }}$
• (직각의 보존) 임의의 $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =0$라면, $S(\mathbf {x} )\cdot S(\mathbf {y} )=0$

비 $k$의 닮음은 $d$차원 도형의 초부피를 $k^{d}$배 확대(축소)한다.

비가 $k$인 중심닮음은 비가 $|k|$인 닮음이다. 이는 $k>0$일 경우 방향을 보존하며, $k<0$일 경우 방향을 반전한다. 반대로, 비 $k$의 닮음이 고정점 $\mathbf {x} _{0}$을 가진다면, 이는 중심 $\mathbf {x} _{0}$ 및 비 $\pm k$의 중심닮음이다.

원점을 중심으로 하는 중심닮음은 선형 변환이다. 그 임의의 기저에 대한 행렬은 비가 $k$일 경우 $k_{n\times n}$이다.

모든 닮음은 중심닮음과 등거리 변환의 합성으로 나타낼 수 있다.^:171

삼각형의 닮음

두 삼각형 $ABC$와 $A'B'C'$의 닮음은 Similarity의 라틴어 머릿글자 S를 옆으로 눕힌 기호(∽)를 사용한다. $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$와 같이 표기한다.

두 삼각형 $ABC$ 및 $A'B'C'$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$. 즉, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
• $\textstyle {\frac {AB}{A'B'}}={\frac {AC}{A'C'}}={\frac {BC}{B'C'}}$. 즉, 세 쌍의 대응변의 길이가 비례한다. 이를 변변변 닮음(영어: SSS similarity)이라고 한다.
• $\textstyle {\frac {AC}{A'C'}}={\frac {BC}{B'C'}}$이며 $\angle C=\angle C'$. 즉, 두 쌍의 대응변의 길이가 비례하며, 그 사잇각의 크기가 같다. 이를 변각변 닮음(영어: SAS similarity)이라고 한다.
• $\angle A=\angle A'$이며 $\angle B=\angle B'$. 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. 이를 각각 닮음(영어: AA similarity)이라고 한다.

서로 닮음인 삼각형의 세 대응변의 길이의 비가 모두 $k$라면, 넓이의 비는 $k^{2}$이다.

예

모든 등거리 변환은 비 1의 닮음이다. 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우다.

평면 $\mathbb {R} ^{2}$ 위에서, 원점 $(0,0)$을 중심으로 하고 2를 비로 하는 중심닮음은 행렬로 표기하면 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}}\qquad \forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

같이 보기

• 합동 (기하학)

외부 링크

• “Similarity”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Homothety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.