기하학에서 두 점 사이의 거리는 좌표평면에서 임의의 두 점
을 예약하고,[1]
- 점
에서
축에 평행하게 그은 직선과 점
에서
축에 평행하게 그은 직선이 서로 만나는 점
을 예약할 수 있다.
- 두 점
사이의 거리를
이라고 가정했을때,
는
을 빗변으로 하는 직각삼각형이고,
이므로,
은 피타고라스 정리에 의해 다음과 같은 관계가 있다.
![{\displaystyle l^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c027554392ad6ac52d01e0221b9a9f86e451b79c)
![{\displaystyle l^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c0ea0664db8eb5a2dc706bbf292e6ef9b9f197)
![{\displaystyle l={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6f721873e355630a4fba72d605446b37317448)
따라서,
- 좌표평면에서 두 점
가 있을 때 두 점 사이의 거리
은 다음과 같다.
![{\displaystyle l={\sqrt {({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f97693d14bf76b2ec964e0bcadd476b6fb08bfb)
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원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고,[2]
- 두 점 사이의 거리에서,
이므로,
![{\displaystyle P=(cos\;\alpha ,sin\;\alpha )\;\;,\;\;Q=(cos\beta ,sin\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe5f7f117537e8d3e6b30ad038f51aa60c969e5)
![{\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=(cos\beta -cos\;\alpha )^{2}+(sin\beta -sin\;\alpha )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0defd0eee3366ae788cdea9f0543f3fd40fd77)
![{\displaystyle =\left((cos\beta -cos\;\alpha )\cdot (cos\beta -cos\;\alpha )\right)+\left((sin\beta -sin\;\alpha )\cdot (-sin\beta -sin\;\alpha )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6051499c322486738e930b940f8cac0fbd3ae8)
![{\displaystyle =\left((cos\beta )^{2}-2cos\alpha cos\beta +(cos\;\alpha )^{2}\right)+\left((sin\beta )^{2}-2sin\alpha sin\beta +(sin\alpha )^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700f83ea40aff4f089fb7c927cf5fbed35d5ec18)
![{\displaystyle =(cos\beta )^{2}+(cos\;\alpha )^{2}+(sin\beta )^{2}+(sin\alpha )^{2}-2cos\alpha cos\beta -2sin\alpha sin\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab219d4de5963306d317215b39e8f650d4145386)
![{\displaystyle =(cos^{2}\beta +cos\;\alpha ^{2})+(sin^{2}\beta +sin^{2}\alpha )-2\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a541dde4cf5ad1f99acc3cd19fd243685dab263d)
그리고 삼각함수 항등식의 피타고라스 정리에서,
![{\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ac36f3c483bb58489db819037680e6c3c69d27)
따라서,
![{\displaystyle =1+1-2\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e416877a082501fc04958bc0b3bc8caddc5291)
![{\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ced1ee8ccb323f0ccdf8987852cfc465230f7a)
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한편,
- 이것은, 제2코사인법칙에서
![{\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2\left({\overline {OP}}\cdot {{\overline {OQ}}cos(\alpha -\beta )}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91aae66190c9d420f57e15b7f14d2d383b04fae)
![{\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\left(1\cdot {1cos(\alpha -\beta )}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b24866a149af6232511232ec6c24deaf5aa0359)
![{\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({cos(\alpha -\beta )}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7adb261df14eb01eeeae9b4134359ff465b7e2)
그리고
![{\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({cos(\alpha -\beta )}\right)=2-2\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afb8eee4061ea1688d02fbabfa72f6558ca1739)
![{\displaystyle cos\left({\alpha -\beta }\right)=\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021105ed42d49bbcc6515cd3ae6ea516e780c8ac)
삼각함수의 덧셈정리이다.