삼중곱

삼중곱(triple product) 또는 삼중 벡터곱(triple vector product)는 벡터 미적분학에서 벡터 3개를 곱하는 방법을 말하는 것으로 스칼라 삼중곱과 벡터 삼중곱 2가지가 있다.

스칼라 삼중곱

세개의 벡터로 정의된 평행 육면체

스칼라 삼중곱(scalar triple product)은 두개의 벡터의 벡터곱을 나머지 벡터와 스칼라곱한 것으로 정의된다.

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$

보통 괄호 없이 이를 표기하기도 하는데, 점곱을 먼저 계산하면 벡터곱이 불가능하기 때문에 중의적이지 않기 때문이다.

기하학적 의미

스칼라 삼중곱의 절댓값은 기하학적으로 스칼라 삼중곱의 3개의 벡터로 정의되는 평행육면체의 부피로 정의된다.

$V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|$

성질

스칼라 삼중곱은 다음과 같이 벡터의 순서를 짝순열이 되도록 바꾸면 값이 변하지 않는다.

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

또한, 만약 스칼라 삼중곱의 값이 0이면 세 벡터 a, b, c는 모두 동일평면상의 벡터라는 성질이 있다.

스칼라 삼중곱과 행렬식

세 벡터의 스칼라 삼중곱은 그 세 벡터들을 행벡터 또는 열벡터로 갖는 3 x 3 행렬의 행렬식이다. 이를 데카르트 좌표계의 성분으로 써보면 (아인슈타인 표기법 사용)

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=a^{i}(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )_{i}\\&=a^{i}(\epsilon _{ijk}b^{j}c^{k})\\&=\epsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}\\&={\begin{vmatrix}a^{1}&b^{1}&c^{1}\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\\a^{3}&b^{3}&c^{3}\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\c^{1}&c^{2}&c^{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

이 되어 쉽게 이를 확인할 수 있다. (여기서 ε_ijk는 레비치비타 기호이다.)

또한, 회전변환 행렬의 행렬식의 값이 1이기 때문에, 스칼라 삼중곱의 값은 좌표의 회전에 대해 값이 변하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다.

스칼라 또는 유사 스칼라

스칼라 삼중곱의 결과는 보통 유사스칼라이다. 만약 좌표계의 방향이 미리 주어지고 고정되면 유사스칼라는 (진짜) 스칼라와 같아진다.

좀 더 정확히 말하면, a · (b × c) 는

• a, b × c가 모두 (진짜) 벡터이거나,
• 둘 모두 유사벡터

일 때만 (진짜) 스칼라이다. 다른 경우, 스칼라 삼중곱의 결과는 유사스칼라이다.

스칼라 삼중곱과 쐐기곱

3차원 공간에서의 삼중벡터는 방향이 있는 부피요소이다. 이것의 호지 쌍대로 얻어지는 스칼라의 크기는 삼중벡터의 부피와 같다.

스칼라 삼중곱은 외대수에서의 쐐기곱을 사용해 표현할 수 있다.

 이 부분의 본문은 외대수입니다.

먼저, 외대수의 요소들과 쐐기곱에 대해 간단히 알아보자. 외 미적분학에서 두 벡터를 쐐기곱하면 이중벡터를 얻고, 세 벡터를 쐐기곱하면 삼중벡터를 얻는다. 간단히 설명하면, 외 미적분학의 이중벡터란, 일종의 방향이 있는 평면요소이고, 삼중벡터는 일종의 방향이 있는 부피요소이다. 비슷하게 벡터는 방향이 있는 선요소이다. 여기서 삼중벡터 a∧b∧c는 세 백터 a, b, and c로 정의된 평행육면체로 볼 수 있는데 각각의 면은 이중벡터 a∧b, a∧c, b∧c에 해당한다.

이를 이용해 스칼라 삼중곱과 쐐기곱의 관계를 표현하면, 임의의 주어진 벡터 a, b, c의 스칼라 삼중곱은 삼중벡터의 호지 쌍대로 얻어지는 스칼라와 같다. (비슷하게, 이중벡터의 삼중곱은 벡터곱과 같다.).

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=*(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )$

그라스만 기호

스칼라 삼중곱을 다음과 같이 쓰기도 한다.

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\equiv [\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} ]$.

이와 같은 기호를 그라스만 기호라 한다. 이는 독일의 수학자 헤르만 그라스만(Hermann Graßmann)의 이름을 딴 것이다.

벡터 삼중곱

벡터 삼중곱(vector triple product)은 두 벡터의 벡터곱에 다시 다른 벡터와 벡터곱을 한 것을 말한다.

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$

벡터 삼중곱의 전개

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {a} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b}$

위의 첫 번째 공식은 흔히 삼중곱 전개 또는 라그랑주 공식 또는 백캡 규칙(BAC-CAB rule) 이라고 불린다.

또한 그래디언트가 들어간 삼중곱과 관계된 항등식은 벡터 미적분학과 여러 물리학의 분야에서 유용하게 쓰인다.

${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&{}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&{}={\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplacian }}\mathbf {f} .\end{aligned}}$

이 식은 라플라스-드 람 연산자 $\Delta =d\delta +\delta d$ 의 특별한 경우로 볼 수도 있다.

중 하나가 유사벡터라면 삼중곱 a × (b × c)의 결과는 벡터이다. 하지만 다른경우엔 모두 유사벡터이다. 예를 들어, 만약 a, b, c가 모두 벡터라면, b × c는 유사벡터이고, a × (b × c)는 벡터가 된다.

정의 불가능한 삼중곱들

위의 두 삼중곱과 마찬가지로 다음과 같은 삼중곱들을 생각해 볼 수도 있다.

$\mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$

$\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$

하지만 위 두 곱은 점곱이 주는 값이 스칼라이기 때문에, 괄호를 계산한 뒤에 벡터곱과 점곱을 하는 것이 불가능하다. 따라서, 위 두 삼중곱은 정의되지 않는다.

참고 문헌

• Lass, Harry (1950). Vector and Tensor Analysis. McGraw-Hill Book Company, Inc., pp. 23–25.