파피안

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수학에서, 파피안(Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다. 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다.

정의[편집]

정사각 반대칭 행렬 고윳값이라고 하자. 그렇다면 파피안 들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

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성질[편집]

파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.

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짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은 의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 는 다음과 같이 2차 미분형식 로 나타낼 수 있다.

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그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

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