파피안

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선형대수학에서, 파피안(영어: Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다.

정의[편집]

가환환 가 주어졌으며, 계수의 실수 반대칭 정사각 행렬 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 파피안 는 다음과 같다.

여기서

  • 순열들의 집합이다.
  • 순열의 부호수이다.

위 공식을 따르면, 에서 역수가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이 번 등장하므로, 사실 위 공식에서 나눗셈이 필요하지 않다. 구체적으로, 분할 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을 이라고 하자. 그 크기

이다. 의 원소는 표준적으로

의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열

로 간주했을 때, 이는 포함 사상 을 정의한다. 그렇다면, 파피안은 다음과 같다.

고윳값을 통한 정의[편집]

실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 고윳값으로 간단히 표현된다. 실수 반대칭 정사각 행렬 고윳값이라고 하자. 그렇다면 파피안 들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

성질[편집]

파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.

.

짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은 의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 는 다음과 같이 2차 미분 형식 로 나타낼 수 있다.

.

그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

역사[편집]

파피안의 개념은 아서 케일리가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며,[1] 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다.

파프미분 방정식에 대한 연구와 연관이 있으므로, 이런 유의 순열식(順列式)은 “파피안”이라고 부르도록 하겠다.
[…] the permutants of this class (from their connexion with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term “Pfaffians.”

 
[1]

참고 문헌[편집]

  1. Cayley, Arthur (1852). “On the theory of permutants”. 《Cambridge and Dublin Mathematical Journal》 (영어) 7: 40–51. 

외부 링크[편집]