미분기하학에서 제2 기본 형식(第二基本形式, 영어: second fundamental form)은 매끄러운 다양체의 부분 다양체의 모양을 나타내는 이차 형식이다.
아핀 접속
가 주어진 매끄러운 다양체
속의 부분 다양체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면
의 제2 기본 형식
는
위의 텐서장이다. 이는 매끄러운 벡터 다발
의 매끄러운 단면이며, 그 정의는 다음과 같다. 매장 함수
이 주어졌을 때,
![{\displaystyle \operatorname {II} _{\alpha \beta }^{\hat {\mu }}=P_{\mu }^{\hat {\mu }}\nabla _{\alpha }(\partial _{\beta }f^{\mu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0804e7cd96733066a70e12ede0bd786df40aada9)
여기서
는 법다발이며,
는
에서
으로 가는 사영 연산자이다. 만약
의 접속의 비틀림이 0이라면 제2 기본 형식은 대칭 텐서이다.
유클리드 공간의 2차원 곡면[편집]
고전적으로, 제2 기본 형식은 유클리드 공간
속의 2차원 곡면
에 대하여 주어진다. 곡면에 좌표
를 주었을 때,
는
로 주어진다. 이 경우
의 법선벡터는
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}(\xi )={\frac {\partial \mathbf {f} /\partial \xi ^{1}\times \partial \mathbf {f} /\partial \xi ^{2}}{\Vert \partial \mathbf {f} /\partial \xi ^{1}\times \partial \mathbf {f} /\partial \xi ^{2}\Vert }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfca7b2c4ecf4d5a33b5e099884cee45671d2228)
이다. 이 경우,
의 제2 기본 형식은 다음과 같은 2×2 대칭행렬이다.
![{\displaystyle \operatorname {II} ={\begin{pmatrix}d\xi ^{1}&d\xi ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\xi ^{1}\\d\xi ^{2}\end{pmatrix}}=\sum _{i,j=1}^{2}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\frac {\partial ^{2}\mathbf {f} }{\partial \xi ^{i}\partial \xi ^{j}}}d\xi ^{i}\,d\xi ^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6659ba9c6784284ee4638fcafb8953d2fc45218)
즉,
의 헤세 행렬과 법선벡터의 내적이다. 행렬 표현에서 기호
은 전통적이다.
참고 문헌[편집]
- 원대연; 이난이 (2014). 《미분기하학 입문》. 경문사. ISBN 978-89-6105-780-6. 2014년 5월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 5월 11일에 확인함.
- Guggenheimer, Heinrich (1977). 《Differential geometry》 (영어). Dover. ISBN 0-486-63433-7.
- Kobayashi, Shoshichi; Katsumi Nomizu (1996). 《Foundations of differential geometry, volume 2》 (영어) New판. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
- Spivak, Michael (1999). 《A comprehensive introduction to differential geometry, volume 3》 (영어). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]