제2 기본 형식

미분기하학에서 제2 기본 형식(第二基本形式, 영어: second fundamental form)은 매끄러운 다양체의 부분 다양체의 모양을 나타내는 이차 형식이다.

정의

아핀 접속 $\nabla$ 가 주어진 매끄러운 다양체 $M$ 속의 부분 다양체 $\Sigma \subset M$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\Sigma$ 의 제2 기본 형식 $\operatorname {II} _{\Sigma }$ 는 $\Sigma$ 위의 텐서장이다. 이는 매끄러운 벡터 다발 $N_{M/\Sigma }\otimes (T^{*}\Sigma )\otimes (T^{*}\Sigma )$ 의 매끄러운 단면이며, 그 정의는 다음과 같다. 매장 함수 $f\colon \Sigma \to M$ 이 주어졌을 때,

\operatorname {II} _{\alpha \beta }^{\hat {\mu }}=P_{\mu }^{\hat {\mu }}\nabla _{\alpha }(\partial _{\beta }f^{\mu })

여기서 $N_{M/\Sigma }$ 는 법다발이며, $P\colon TM\to N_{M/\Sigma }$ 는 $TM$ 에서 $N_{M/\Sigma }$ 으로 가는 사영 연산자이다. 만약 $M$ 의 접속의 비틀림이 0이라면 제2 기본 형식은 대칭 텐서이다.

유클리드 공간의 2차원 곡면

고전적으로, 제2 기본 형식은 유클리드 공간 $M=\mathbb {R} ^{3}$ 속의 2차원 곡면 $\Sigma$ 에 대하여 주어진다. 곡면에 좌표 $\xi =(\xi ^{1},\xi ^{2})$ 를 주었을 때, $\Sigma$ 는 $\mathbf {f} (\xi )\in \mathbb {R} ^{3}$ 로 주어진다. 이 경우 $\Sigma$ 의 법선벡터는

{\hat {\mathbf {n} }}(\xi )={\frac {\partial \mathbf {f} /\partial \xi ^{1}\times \partial \mathbf {f} /\partial \xi ^{2}}{\Vert \partial \mathbf {f} /\partial \xi ^{1}\times \partial \mathbf {f} /\partial \xi ^{2}\Vert }}

이다. 이 경우, $\Sigma$ 의 제2 기본 형식은 다음과 같은 2×2 대칭행렬이다.

\operatorname {II} ={\begin{pmatrix}d\xi ^{1}&d\xi ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\xi ^{1}\\d\xi ^{2}\end{pmatrix}}=\sum _{i,j=1}^{2}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\frac {\partial ^{2}\mathbf {f} }{\partial \xi ^{i}\partial \xi ^{j}}}d\xi ^{i}\,d\xi ^{j}

즉, $\mathbf {f}$ 의 헤세 행렬과 법선벡터의 내적이다. 행렬 표현에서 기호 $L,M,N$ 은 전통적이다.

참고 문헌

원대연; 이난이 (2014). 《미분기하학 입문》. 경문사. ISBN 978-89-6105-780-6. 2014년 5월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 5월 11일에 확인함.
Guggenheimer, Heinrich (1977). 《Differential geometry》 (영어). Dover. ISBN 0-486-63433-7.
Kobayashi, Shoshichi; Katsumi Nomizu (1996). 《Foundations of differential geometry, volume 2》 New판 (영어). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
Spivak, Michael (1999). 《A comprehensive introduction to differential geometry, volume 3》 (영어). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.

같이 보기

외부 링크

“Second fundamental form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Second fundamental form” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.