주곡률

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미분기하학에서, 주곡률(主曲率, 영어: principal curvature)은 곡면이 각 방향에 따라 굽은 정도를 나타내는 값들이며, 제2 기본 형식고윳값들이다.

정의[편집]

d+1차원 리만 다양체 (M,g) 속에 여차원이 1인 부분다양체 i\colon\Sigma\hookrightarrow M매장돼 있다고 하자. 그렇다면, \Sigma제2 기본 형식 \operatorname{II}제1 기본 형식 \operatorname{I}를 사용해 다음과 같은 (1,1)-텐서를 정의할 수 있다.

S_\alpha^\gamma=\operatorname{II}_{\alpha\beta}(\operatorname{I}^{-1})^{\beta\gamma}

이 텐서를 모양 연산자(영어: shape operator)라고 한다. \Sigma주곡률은 그 모양 연산자의 고윳값들이다. 즉, 주곡률 \kappa_i는 다음을 만족시킨다.

\det(S^\alpha_\beta-\kappa_i\delta^\alpha_\beta)=0

모양 연산자의 행렬식, 즉 주곡률들의 곱을 가우스 곡률 K라고 하고, 대각합의 1/d, 즉 주곡률들의 평균을 평균 곡률(영어: mean curvature) H라고 한다.

K=\det S_\Sigma=\kappa_1\kappa_2\cdots\kappa_d
H=\frac1d\operatorname{tr}S_\Sigma=\frac{\kappa_1+\kappa_2+\cdots+\kappa_d}d

분류[편집]

여차원이 1인 부분다양체 \Sigma\subset M의 점 p\in\Sigma는 모양 연산자의 계량 부호수에 따라 분류된다.

  • 타원점(영어: elliptic point)에서는 모양 연산자가 양의 정부호이다. 즉, 모든 주곡률들이 양수이다.
    • 배꼽점(영어: umbilic point)에서는 모든 주곡률들이 같으며 양수이다. 이 점에서 곡면은 국소적으로 구면처럼 보인다.
  • 포물점(영어: parabolic point)에서는 모든 주곡률들이 양수이거나 0이고, 적어도 한 주곡률이 0이다.
  • 쌍곡점(영어: hyperbolic point)에서는 적어도 한 주곡률이 음수이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]