각 (수학)

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기하학에서, (角, 독일어: Winkel,영어: angle,프랑스어: angle)은 같은 끝점을 갖는 두 반직선이 이루는 도형이다. 이 끝점을 각의 꼭짓점(독일어: Ecke,영어: vertex,프랑스어: sommet)이라고 하며, 두 반직선을 각의 (독일어: Seite,영어: side,프랑스어: côté)이라고 한다. 두 변이 벌어지는 정도를 각도(角度)라고 한다. 보통 각이라고 하면 평면상에서 정의되는 것을 말하지만 3차원 공간에서 말하는 입체각도 정의할 수 있다.

각의 종류[편집]

기하학에서 각(角,angle)은 평면상의 두직선이 서로 만나 교차를 이룰때 그 두 직선들이 서로에 대해 벌어진 정도를 각이라하고 이러한 각의 크기를 각도(角度)라고 부른다. [1]

그러나 이러한 엄격한 정의에 의한다면 두 직선이 서로 한 직선상에서 일치하지 않는한 교차되는 각은 서로 양쪽으로 2개씩의 각이 생겨 항상 4개가 나타나게되므로 좌표평면상의 0점을 기준으로 끝점을 갖는 두 반직선을 가정하여 단 하나의 각을 갖는 경우를 가정할수있다. 이것은 두직선의 각 끝점들중 같은 방향의 끝점들이 한점에서 만나게 되는것을 의미한다.[2]

이처럼 각은 평면상의 두 직선들이 서로에 대해 기울어진 정도를 표현한 것이지만 좌표평면상의 x,y이외에 z축등의 증가를 추가적으로 설정함으로써 3차원같은 입체각이 깊이나 또다른 성질을 표현하도록 가정할수도 있다.

특수각과 일반각[편집]

  • 특수각은 삼각함수에서 나타나는 0˚,30˚, 45˚, 60˚, 90˚를 가리키며 이로인해 단위원상에서 정삼각형, 정사각형등을 사용해 그 삼각비를 유도하여 얻을수 있다. 이러한 특별한 각들인 특수각들은 삼각함수등에서 매우 중요한 성질을 갖는다.

단위원상에서 0˚,30˚, 45˚, 60˚, 90˚을 내각으로 갖는 정삼각형,이등변삼각형, 정사각형은 아래와 같이 0˚,30˚, 45˚, 60˚, 90˚와 그의 주기적인 각도 120˚,135˚,150˚,180˚,....등에서 삼각함수를 얻게 해주기에 특별한 각으로 불린다.

특수각 사인 코사인 탄젠트
30˚
45˚
60˚
90˚
원점에서 60˚를 갖는 이등변삼각형의 성질을 이용하여
원에 내접하는 정삼각형과 피타고라스의 정리로부터 얻어지는
삼각함수의 예
Equilateral-triangle001.svg
0˚와 90˚에서의 삼각함수 값
Sincos-theta0-90-001.svg
  • 일반각은 임의의 반직선을 기준선(축)으로해서 그것과 원점을 꼭지점으로 공유하는 또다른 반직선(동경 선)이 이루는 각 또는 이러한 각과 그 동경선의 회전으로 얻어진 각을 합하여 나타내는 각을 가리킨다. 일반각은 360˚n+α(n은 원둘레 회전횟수 ,α는 각도, 호도법으로는 2πn+α)처럼 표현된다.
Vertex-ray001.svg

보각과 여각[편집]

예각에 대해, 더하여 직각이 되는 각은 그 예각의 여각(complementary angle)이라고 한다.

마찬가지로 평각보다 작은 각도를 가지는 각에 대해, 더하여 평각이 되게하는 각을 보각(supplementary angle)이라고 한다.

단위[편집]

  • (degree):기호는 ˚이며 한 회전을 360등분한 것이다.
  • (minute):기호는 '이며 1도를 60등분한 것이다.
  • (second):기호는 "이며 1분을 60등분한 것이다.
  • 라디안(radian, rad):기호는 쓰지 않으며 부채꼴의 반지름의 비이다.
  • 스테라디안(steradian):입체각의 단위로, 의 일부의 둥근 부분의 넓이와 반지름의 비이다.

도와 라디안의 변환[편집]

특징[편집]

  • 유클리드 평면에 있는 삼각형의 내각의 합은 이다.
  • 유클리드 평면에 있는 n각형의 내각의 합은 이다.

두 직선이 평행할 때, 동위각의 크기는 같다.

두 직선이 평행할 때, 엇각의 크기는 같다.

동측내각의 합은 180`이다.

같이 보기[편집]

참고[편집]

  1. (유클리드 기하학 원론 1권 정의 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,퍼블릭 도메인)
  2. (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/Angle.html